Файл: Дьярмати, И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 104
Скачиваний: 0
80 |
Глава П |
определение давления (справедливое также для неста тического случая) получим, приняв его равным Ѵз следа тензора общего давления:
р = ± Р ; Ь = ± Р аа (<*=1,2,3). |
(2.107) |
Эта величина является средним гидродинамическим (или скорее термодинамическим) давлением р, которое, соглас но (2.88), складывается из равновесного давления
Р = 1 р е : 6 = |
( а = 1,2,3) |
(2.108) |
и скаляра рѵ, определяемого соотношением (2.100). Сле довательно, величину рѵ можно назвать вязким давле нием. Из (2.88), (2.103) и (2.108) следует, что для дви жущихся жидкостей и газовых систем тензор давления имеет вид
p = (p + /) & + Pra + P™; |
(2.109) |
именно в этой форме он будет использоваться в даль нейшем. .
Мы не приводим здесь выражения тензора давления для других моделей непрерывных сред. Заметим, одна ко, что путем простого обобщения тензора давления Ньютона (2.96) можно получить тензор давления Рей нольдса для турбулентного движения и уравнения дви жения Рейнольдса [20]. Необходимо отметить также, что с помощью различных форм равновесной части Р е тен зора давления можно точно описать модели пластиче ских, упругих и реологических систем и получить хоро шее согласие с экспериментальными фактами. Хотя все эти модели различных систем имеют фундаментальное значение для физиков, реологов и химиков, занимаю щихся термомеханическими свойствами пластических материалов, рассмотрение таких моделей не входит в задачу настоящей работы. Основная причина этого за ключается в том, что систематическое применение не равновесной термодинамики к термомеханическим и ре ологическим системам началось лишь несколько лет назад. Мы отсылаем читателя к фундаментальным ра ботам Клютенберга [21],
Уравнения баланса |
81 |
§ 6 . Механическое равновесие
Так называемые состояния механического равновесия континуума одинаково важны как с теоретической, так и с практической точки зрения. Согласно механике, со стояние механического равновесия характеризуется тем, что тело, находящееся в этом состоянии, не может со вершать ни поступательного (кроме прямолинейного равномерного), ни вращательного движения. Это усло вие выполняется, т. е. тело находится в состоянии меха нического равновесия, если результирующая всех сил, действующих на любой объем тела, а также результи рующая всех моментов сил равны нулю.
Первое условие в случае непрерывной среды выпол
няется согласно |
(2.68), если |
|
|
|
J ( p F - V |
• P)dK=- 0 |
(2.110) |
|
к |
|
|
(мы заменили Т |
тензором |
давления—Р ). |
Поскольку |
объем V произволен, при равновесии в каждой точке континуума должно быть справедливо равенство
pF = ѴР, |
(2.111) |
выражающее условие равновесия. Согласно (2.71), это 3/словие определяет движение без ускорения, т. е. в со стоянии механического равновесия ѵ = 0.
Условие (2.111) исключает возможность только уско ренного поступательного движения, но допускает враща тельное движение элементов массы континуума. Сле довательно, оно является необходимым условием для полного механического равновесия. Чтобы получить не обходимое и достаточное условие механического равно весия, нужно, помимо уравнения (2.111), задать условие, выражающее отсутствие моментов сил. Для континуума момент результирующей силы относительно точки г про странственной системы координат определяется следую щим образом:
I p ( r X F ) d y + <j>(rXf) < * & =
V Q
?= f p (r X І7) —Cp(Г X P) •rfO; (2.112)
Y |
8 |
82 |
Глава II |
здесь в правой |
части использованы соотношения (2.67) |
и (2.70). Таким образом, применяя теорему о диверген
ции |
к |
последнему |
члену выражения |
(2.112), |
находим |
|||
второе условие механического равновесия |
|
|
||||||
|
|
\ [ 9 ( r X F ) - ^ |
■(rXP)}dV = 0. |
|
(2.113) |
|||
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
Используя тождество тензорного анализа |
|
|
||||||
дРѵа |
дРѵа |
д |
|
|
|
|
|
|
Ха ~дГу |
= |
Jx^ (Х*РУѴ~ |
XßPYa) + |
|
|
|||
|
|
+ Яра- Р а(3 |
(а, |
ß, Y = |
1, 2, |
3), |
(2.114) |
|
или в векторной форме |
|
|
|
|
|
|||
|
|
г Х Ѵ Р = Ѵ - ( г ХР ) + Р - Р |
|
(2.115) |
||||
(где |
Р — транспонированный тензор Р ), условие (2.113) |
|||||||
можно переписать в виде |
|
|
|
|
|
|||
|
|
f [ г X(pi?- V - P ) + P - P ] d y = |
0. |
(2.116) |
||||
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
Поскольку подынтегральное выражение должно обра щаться в нуль для произвольного объема, одновремен ное выполнение условий (2.111) и (2.113) является не обходимым и достаточным условием механического рав новесия. Отсюда следует, что
Р = Р, или Р„з = Рра (а, ß = 1,2,3), (2.117)
т. е. в случае механического равновесия тензор давления является симметрическим. В других случаях симметрич ность тензора давления связана с сохранением момен тов количества движения. Прежде чем переходить к по дробному рассмотрению уравнений баланса, справед ливых для моментов количества движения, следует упомянуть о часто используемой концепции механиче ского равновесия, которую можно сформулировать, поль зуясь допущениями, менее строгими, чем в только что рассмотренном случае.
Эти условия, которые на практике часто выпол няются с хорошим приближением в многокомпонентных гидротермодинамических системах, впервые были при
Уравнения баланса |
83 |
менены Пригожиным [22]. Механическое равновесие Пригожина относится только к многокомпонентным и невязким непрерывным средам. С другой стороны, даже в этих случаях должно выполняться только условие
( 2 . 111) .
Рассмотрим многокомпонентный гидродинамический континуум, уравнение движения которого имеет вид (2.87). Механическое равновесие Пригожина характери
зуется здесь |
не |
только условием |
ѵ = 0, но и условием |
P v = f(Vv) |
= |
0. В этом случае |
механическое равнове |
сие Пригожина выражается условием
к
(2.118)
б=і
которое играет очень важную роль при описании диффу зии и т. п. Например, для диффузионных и термодиф фузионных явлений, происходящих в закрытых системах, через определенный промежуток времени после начала эксперимента предположение о том, что условие (2.118) уже достигнуто, можно всегда считать хорошим прибли жением. Можно сказать, что многокомпонентная непре рывная закрытая система достигает состояния, описы ваемого соотношением (2.118), прежде, чем процессы кондуктивного переноса становятся определяющими. Разумеется, в любом эксперименте по диффузии соотно шение (2.118) может быть только приближением, по скольку из-за различия молекулярных масс компонен
тов условие V = 0 не выполняется точно. Однако возни кающие здесь ускорения настолько малы, что ими можно пренебречь. То же самое можно сказать о градиентах давления, возникающих вследствие этого ускорения. Во всяком случае, если внешние силы отсутствуют и выпол няется условие (2.118), то градиенты давлений настоль ко малы, что в начале любого диффузионного процесса ими можно пренебречь.
§ 7. Уравнения баланса момента количества движения
Симметричность тензора давления в более общих случаях находится в прямой связи с законом сохранения момента количества движения. Для анализа последнего
84 |
Глава II |
определим так называемый «внешний» момент количе ства движения единицы массы, центр которой движется со скоростью V. По определению, момент количества дви жения относительно начала системы координат, заданной эйлеровыми координатами х ь х2, х5, равен
S e — г У, V. |
(2.119) |
Субстанциональная производная по времени от этого «внешнего» (или, как его часто называют, механическо го) момента количества движения равна
|
|
|
Se = r X v , |
|
(2.120) |
|
поскольку |
произведение г у ѵ равно нулю. |
Для случая |
||||
F = 0, |
т. |
е. когда на |
континуум |
действуют |
только по |
|
верхностные силы V • |
Р, |
уравнение субстанционального |
||||
баланса |
механического |
момента |
количества движения |
|||
Se можно сразу же найти из (2.71). Умножим векторно
(2.71) на г слева; это дает |
|
pSe + r X V - P = 0. |
(2.121) |
Сравнивая это уравнение с (2.15), можно видеть, что (2.121) еще не соответствует общему уравнению балан са. Полное соответствие можно получить, если второй член в (2.121) преобразовать с помощью (2.115), при нимая также во внимание, что
Р - Р = 2 Р ѵа, |
(2.122) |
где Рѵа— аксиальный вектор, который определяется ан тисимметрической частью Р иа тензора давления в смыс ле (2.106). Из (2.121), учитывая (2.115) и (2.122), при ходим к уравнению баланса
pSe = V • (г X Р) = 2 Рѵа, |
(2.123) |
которое является уравнением субстанционального ба ланса механического момента количества движения; ис точнику соответствует член 2Рѵа. Это уравнение выве дено из (2.71) при условии, что на систему не действуют внешние силы, поэтому, согласно соотношению (2.29), которое классифицирует члены, соответствующие источ
Уравнения баланса |
85 |
никам, 2P Da может представлять только |
«внутренний» |
источник момента количества движения. Следовательно,
а ^ = 2Рѵа |
(2.124) |
есть «внутренний» источник момента количества движе
ния, и |
(2.125) |
Jje = r X P |
— субстанциональная плотность потока.
Чтобы получить локальную форму уравнения балан
са механического |
момента |
количества |
движения, вве- |
|
дем локальную плотность |
|0 |
|
момента количе |
|
Jse потока |
||||
ства движения S* и воспользуемся соотношениями |
||||
(2.125) и (2.12) с |
a ^ S ae ( а = 1 , |
2, 3): |
|
|
|
= r X P + |
pSV |
(2.126) |
|
Здесь диада pSen есть плотность конвективного потока момента количества движения. Из (2.123), учитывая (2.126) и (2.21), приходим к локальной форме уравне ния баланса момента количества движения:
+ V • (г X Р + pSen) = 2 Рѵа, |
(2.127) |
эквивалентной (2.123).
Уравнения баланса Se показывают, что плотность ис точника, определяемая соотношением (2.124), равна нулю тогда и только тогда, когда «внешний», или меха нический, момент количества движения является кон сервативной величиной, следовательно, если справед ливо условие
Р = Р, или Ра = 0, |
(2.128) |
т. е. если тензор давления симметричен. Другими сло вами, симметричность тензора давления эквивалентна сохранению механического («внешнего») момента коли чества движения Se.
На протяжении всего развития термодинамики непре рывных систем моменту количества движения до послед него времени уделялось мало внимания. Причина этого
86 Глава П
заключалась в том, что если исследования ограничива лись случаем симметрического тензора давления, то ба ланс момента количества движения не вносит вклада в производство энтропии. Однако в последнее время Трэд [23], Мейкснер [24] и особенно Барановский и Ромотовский [25] показали, что антисимметрическая часть тензора давления относится к «внутреннему» моменту количества движения S \ изменения которого компенси руют источник внешнего механического момента коли чества движения. Превращение «внешних» и «внутрен них» моментов количества движения друг в друга яв ляется неравновесным процессом, который дает допол нительный член в уравнении производства энтропии (гл. III). Для исследования подобных эффектов в гидро динамике применяется так называемое обобщенное уравнение Навье — Стокса, которое получается при учете антисимметрической части тензора давления [3, 25]. Пре вращение «внешних» и «внутренних» моментов количе ства движения друг в друга позволяет исследовать с помощью неравновесной термодинамики ряд других эффектов, например эффект Эйнштейна — де Гааза [24]. (Это связано с тем, что результирующий момент коли чества движения S \ вообще говоря, определяется отне сенными к единице массы моментами количества движе ния атомов и молекул, а также электронными и ядерными спинами.) Тем не менее очевидно, что необходимо исследовать уравнение баланса момента количества дви жения более основательно, чем это делалось до сих пор, поэтому мы перейдем к более подробному анализу при веденных выше уравнений.
Определим «внутренний» момент количества движе ния S \ который, по предположению, относится к внут реннему вращению выбранного элемента массы конти нуума. Если обозначить через Ѳ макроскопическое сред нее внутренних моментов инерции частиц, образующих
единицу массы континуума, а через |
а — угловую ско |
рость внутреннего вращения, то, по определению, |
|
Sj = 0 g> |
(2.129) |
является удельным «внутренним» моментом количества движения. Он может изменяться только вследствие из