Файл: Дьярмати, И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 103

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

74

Г лава II

Последнее уравнение можно преобразовать с помощью тождества

= ■/*) + (/*■?)»*

к виду

Р Л + V • (Р* + vkJk) = pkFk +

р/ ; + (V ■/,) (2.79)

(k = l, 2 ,

К). .

Производя суммирование и используя для вычисления субстанциональной производной по времени выражение

(1.39а), из которого имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к

 

 

 

 

 

к

 

 

 

 

 

2

PkVk =

рѵ +

рѵ — 2

pkvk,

(2.80)

 

fe=i

 

 

 

 

fe=i

 

 

 

можно записать уравнение

 

(2.78)

в следующем виде:

 

к

 

 

(

к

 

 

 

 

 

 

 

рѵ + рг> — 2 М * + V • I 2 (Pè +

hvk)

 

 

 

 

 

 

 

I k=i

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

2 рЛ +

2

 

рЛ +

2

»*(?•/*)•

(2.81)

 

 

/г=1

 

fc=l

 

fe=l

 

 

 

Воспользуемся

 

теперь

для

 

исключения р н р#

уравне­

ниями

(2.17) и

(2.33)

и

учтем,

что, согласно

(1.41) —

(1.43),

справедливо соотношение

 

 

 

 

 

к

к

 

 

 

 

к

 

 

 

 

 

2 h v k = 2 Pk (vk — v) v k =

 

2 PkWkVk =

 

 

 

*=i

k=i

 

 

 

к

fe=i

 

к

 

 

 

 

к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

2 Pft^fe (ffe — V) +

2

 

Р Л » =

2

 

PkWkWk-

(2.82)

 

fe=i

 

 

 

fe=i

 

fc=i

 

 

В результате простых

преобразований

уравнения (2.81)

находим уравнение баланса

 

 

 

 

 

 

 

 

f к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рг» + V • I 2 (Ра+ РйО 'Л )

 

 

 

 

 

 

 

 

U=i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2

PkFk + 2

(рЛ

 

+ mÄtFé).

(2.83)

Сравнивая это уравнение, выведенное впервые Трусделлом [1, 19] несколько иным путем, с уравнением Коши

Уравнения баланса

75

(2.71), можно заметить, что условие, необходимое и до­ статочное для того, чтобы уравнение Коши выполнялось в случае многокомпонентных систем, эквивалентно сле­ дующим трем требованиям:

 

к

 

 

к

 

(2.84)

— р

12

 

Pk^k — 2

°kFk>

 

fc=i

 

k=\

 

 

P =

к

(Pft + PkWkWk),

 

2

(2.85)

 

fe=I

 

 

 

 

 

2

(Pfeift +

mkvk) =

0.

(2.86)

ft—1

 

 

 

 

 

Последнее условие показывает, что источник импульса, порожденный внутренними силами, уравновешивается диффузионным импульсом компонентов, возникающим в химических реакциях. Соответственно уравнение ба­ ланса импульса, справедливое для многокомпонентного континуума

рг> + V • Р = 2 pkFk,

(2.87)

ft=i

 

выражает закон сохранения полного импульса, если тен­ зор давления определяется соотношением (2.85).

Уравнение движения Коши для непрерывных систем можно применять для самых разнообразных моделей континуумов, которые используются в механике, а так­ же для электромагнитных континуумов. Различные мо­ дели континуумов отличаются формой тензора давле­ ния Р, что можно проверить экспериментально, хотя и не прямым путем. Если мы исследуем континуум только с механическими свойствами (точнее, если мы заинте­ ресованы в том, чтобы тензор давления выражал меха­ нические свойства континуума), то тензор Р можно в общем случае разложить на две части. Первая часть зависит от состояния, а другая — от скорости изменения этого состояния. Это значит, что тензор механического давления Р состоит из равновесной части Ре и нерав­ новесной части Рщ, т. е.

Р = Р е + Р ѵ.

(2 .8 8 )

76

Глава II

Поскольку Р® зависит от скорости изменения состояния и соответственно от ее градиента и поскольку вязкие силы определяются именно градиентами, Р® называется

тензором вязкого давления. Таким образом, Рѵ= 0 для любого континуума в состоянии равновесия, например тензор неравновесного давления равен нулю для по­ коящихся газов и жидкостей. Кроме того, в таких слу­ чаях в силу изотропии тензор равновесного давления Ре превращается в скаляр, т. е.

Р = Ре = р6,

(2.89)

где р — скалярное гидростатическое давление, а 6 — еди­ ничный тензор. Это разложение Р , приводимое здесь подробно для скалярного давления

" р 0 0 ■

р = р е = 0 р 0

. 0 0 р -

показывает, что в случае неподвижных жидкостей и га­ зов отсутствует давление сдвига (или напряжение сдви­ га), которое определяется элементами со смешанными индексами в тензоре давления, т. е. Ра$ = 0 (а, ß =

— 1,2,3; a ^ ß ) . С другой стороны, в таких непрерыв­ ных средах нормальные давления (отрицательные нор­ мальные напряжения) равны друг другу и гидростати­ ческое давление определяется ими:

Раа = Реаа = Р (<Х= 1,2,3).

(2.91)

Выражение (2.91) показывает, что гидростатическое давление изотропно. Это подтверждается законом Па­ скаля, который получен экспериментально.

Соотношения (2.89) и (2.91) всегда справедливы для покоящихся жидкостей и газов. Однако для движущихся жидких и газовых систем можно также предложить мо­ дели, в которых эти соотношения являются хорошим приближением. Жидкие системы, в которых отсутствует сдвиговое напряжение, по определению, называются не­ вязкими (совершенными или идеальными) системами.

Следовательно, выражение для тензора давления (2.89) определяет также модель идеальной жидкой и газовой

Уравнения баланса

77

системы. Если в уравнении движения (2.71) учесть со­ отношение (2.89), то получается уравнение субстанцио­ нального баланса импульса, справедливое для идеаль­ ных систем

рг> + Ѵр = pF,

(2.92)

или, если применить (1.15) к компонентам скорости, уравнение локального баланса импульса

^ + (г>-Ѵ)г> + р~'Vp = F.

(2.93)

Эти уравнения известны под названием гидродинамиче­ ских уравнений движения Эйлера, и в указанном ранее смысле они представляют собой уравнения баланса им­ пульса для невязких жидких систем.

Для вязких систем форма тензора давления (2.89) и (2.90) изменяется, поскольку в этих случаях тензор вязкого давления не равен нулю. Для однородных изо­ тропных вязких систем полный механический тензор давления имеет вид

 

Р = р6 + Р®,

(2.94)

где

Р® в общем случае является функцией тензора

Ѵц =

Gradn. Если мы ограничимся рассмотрением нью­

тоновских жидкостей, для которых характерно то, что субстанциональная плотность потока импульса, опреде­ ляемая тензором вязкого давления Р®, является линей­

ной функцией

тензора

\ѵ, то справедливо

выражение

р ' =

{ ( | л -

Лв) ѵ . * } * - а д , Л

(2.95)

которое представляет собой так называемый ньютонов­ ский тензор вязкого давления. Здесь ц — сдвиговая вяз­ кость, т|„ — коэффициент объемной вязкости, а (Vü)s—- симметрическая часть тензора градиента скорости Ѵѵ. С помощью (2.94) и (2.95) находим полный тензор дав­ ления Ньютона

Р = {р + ( т т1_т1®)Ѵ ' » } ö — 2ti(Vv)s.

(2.96)

78 Глава U

Подставляя (2.96) в (2.71) и выполняя операцию ди­ вергенции, приходим к субстанциональной форме урав­ нения Навье — Стокса

рѵ + Sp — т] Ьѵ — (-j + 'Ht,') VV • V = pF.

(2.97)

Отсюда, используя

(1.15), получаем локальную

форму

этого уравнения

 

 

Р T T + Р (® • Ѵ) ѵ +

~~ 'П ~~ ('з" + Л о ) ' ѵ = PF-

 

 

(2.98)

Здесь оператор Лапласа обозначен через А == V2. Эти уравнения движения следует рассматривать как урав­ нения баланса импульса вязкой ньютоновской жидкости соответственно в субстанциональной и локальной форме.

Для дальнейшего анализа разложим тензор вязкого давления в (2.88) следующим образом:

р* = / 6 + Рѵ,

(2.99)

где б — единичный тензор и

Р * ' = і р « ' : 6 = і р 2 а ( а = 1, 2, 3)

(2.100)

0 (Уз следа тензора Р®). Согласно (2.99), след тензора Р® равен нулю, т. е.

р® ; б = Р ”а = 0 ( а = 1,2,3).

(2.101)

Этот тензор можно обычным образом разложить на сим- 0

метрическую P®s и антисимметрическую Р®а части (по определению Р®а имеет след, равный нулю):

Р" = Pw + Р™.

(2.102)

Следовательно, полный тензор вязкого давления разла­ гается таким образом:

Рѵ = рѵЪ+ Pvs + Pva = \ ( P V: 6)6 + Pvs + Pva- (2.103)

дальнейшее разложение уже невозможно. Подобным об­ разом можно разложить любой тензор второго ранга, и,

Уравнения баланса

79

поскольку такое разложение будет использоваться и для других случаев, запишем его в компонентах:

~ Р п

P h

P VSl

 

p v л p v

4 - P v

Г

1

0

° 1

 

 

Р \

2 P l i

P h

 

r Ц Т

М 2

'

М 3

 

0

 

1

0

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Р і З

Pis

Pts .

рѵ

 

 

 

 

L

о

 

0

 

1 J

 

 

 

2РѴи -

РІ22 *

 

Pü

4- Pv

 

 

 

 

Рзі + Раі

 

 

М 3

 

M i

 

M

 

 

 

 

 

 

P u + P l l

 

2Р\22

р °

 

рѵ

 

 

 

 

 

23

 

+

 

 

 

Ml

М3

 

 

РѢ + РІ

+

 

r

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PU _ р*

 

 

 

 

 

p v

 

 

 

 

 

РѢ

 

 

 

 

 

 

' 2 3

+

PV32

 

 

2

~

M l

Р-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

 

 

5

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P v

— P °

 

p v _ _ p v

 

 

 

 

 

0

 

M l

 

М 2

 

M I

 

 

М 3

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"b

p v

 

p v

 

0

 

 

pt>

 

 

pt>

 

(2.104)

 

M 2 —

M I

 

 

 

‘ 32

 

 

М 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

p v

 

p v

p v

_

p v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М 3

—

M I

М 3

 

*32

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из этого разложения можно видеть, что в общем случае любая физическая величина, заданная девятью незави­ симыми элементами тензора второго ранга, может быть определена эквивалентным образом с помощью скаляра, равного Уз следа тензора, пятью независимыми элемен­ тами симметрической части со следом, равным нулю, и тремя независимыми элементами антисимметрической части. Последняя эквивалентна аксиальному вектору, получающемуся путем циклической перестановки соот­ ветствующих элементов тензора

Р ° Л = -Р % = Р?

(a,ß,v =

l,2,3),

(2.105)

где

 

 

 

Plt = - — ai —

(а, ß =

1, 2, 3).

(2.106)

Выражения (2.90) и (2.91), строго говоря, опреде­ ляют только гидростатическое давление. Более общее

Смотрите также файлы