Файл: Дьярмати, И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 112

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Термодинамика континуума

107

описывающее полную энтропию систем, а также выра­ жение

 

= — § j s . dQ

(3.14а)

 

 

Q

 

 

=

[ er d l / > 0.

(3.146)

 

 

V

 

Здесь

Js — субстанциональная плотность

потока энтро­

пии, а

о — производство

энтропии, т. е.

возникновение

энтропии за единицу времени в единице объема, кото­ рое, согласно соотношению (3.11), для необратимых процессов является положительно определенной.

Из общих уравнений баланса (2.8) и (2.15), если положить а = s, а также непосредственно из соотноше­ ний (3.13) и (3.14) следует, что (3.12) представляет со­ бой глобальное уравнение баланса энтропии и, следо­ вательно, в произвольной внутренней точке континуума

ему соответствует локальное

 

 

ІЕ 1 + ѵ- /2 =

ог> 0

(3.15)

или субстанциональное

 

 

p s-f V • /s =

a > 0

(3.16)

уравнение баланса. Разность между локальной J°s и субстанциональной Js плотностями потока энтропии дается, согласно (2.12), выражением

Js = J°s — psv,

(3.17)

где pst» — конвективный поток энтропии. С помощью рассмотренного ниже метода можно убедиться, что урав­ нения баланса энтропии (3.15) и (3.16) являются ло­ кальными эквивалентами глобального уравнения ба­ ланса.(3.12) и включают также второй закон, где член о, соответствующий источнику энтропии, удовлетворяет не­ равенству о 72= 0. Конкретный вид уравнений баланса энтропии будет получен позже.

в .

У с л о в и е

ц е л л у л я р н о г о

( л о к а л ь н о г о )

р а в

Основной проблемой термодинамики является нахожде­

108 Глава 111

ние уравнений баланса энтропии для конкретных моде­ лей систем. Однако конкретные уравнения баланса эн­ тропии получаются только после приведения в соответ­ ствие уравнений баланса для основных механических и электромагнитных величин и уравнений, относящихся к термодинамическим величинам (внутренняя энергия, эн­ тропия и т. д.).

Точные соотношения между термическими и нетер­ мическими переменными можно получить из классиче­ ской (термостатической) теории. Однако, к сожалению, соотношения, о которых идет речь, в соответствии с ду­ хом классической теории и границами ее применимости строго справедливы лишь для равновесных систем. Кро­ ме того,{Согласно классической теории теплоты, такие величины, как температура, энтропия и т. п., для нерав­ новесных состояний не определяются. Эта трудность преодолевается с помощью гипотезы целлулярного (ло­ кального) равновесия. Она дает возможность применять параметры термостатического равновесного состояния и соотношения, существующие между ними, для неравно­ весных систем. Понятие о целлулярном равновесии не­ прерывных систем включает в себя гипотезу, согласно которой континуум является суммой элементарных обла­ стей (целл), где выполняется условие равновесия^ Ги­ потеза дает хорошее приближение, несмотря на то, что

вполной системе возможны необратимые и неравновес­ ные процессы.

Сматематической точки зрения вопрос заключается

втом, является ли описание термостатического состоя­ ния, справедливое для равновесных систем, справедли­

вым и для любой элементарной области континуума. Предполагается, что при целлулярном равновесии к еди­ нице массы континуума применимо соотношение Гиббса, включающее первый и второй законы для равновесных систем, в его обычной форме, т. е.

к

du = Tds — pdv -f 2 likdck, (3.18) fc=i

где p,k— химический потенциал k-ro компонента. Суб­ станциональная производная по времени от этого соот-

Термодинамика континуума

109

ношения, которую можно записать в форме

к

(3.19)

не означает никаких дополнительных ограничений. Здесь зависимость удельной энтропии от пространственных ко­ ординат и времени нельзя рассматривать как заданную в явном виде: она задана через зависимости от коорди­

нат

и времени

переменных

u = u(r,t), u = v(r,t) и

Ch =

Ck(ry t), т.

e. косвенным

образом. Поскольку изме­

нение переменных и, ѵ, Си задается соответствующим уравнением баланса, очевидно, что существует возмож­ ность с помощью этих уравнений и соотношения (3.19) определить конкретные формы уравнения баланса эн­ тропии.

Из соотношения Гиббса (3.18), которое справедливо только для многокомпонентных гидротермодинамических систем, можно определить уравнение баланса энтропии лишь для самих этих систем. Если мы хотим определить уравнение баланса энтропии для других, более общих моделей, то необходимо модифицировать и дополнить соотношение (3.18). С таким случаем мы сталкиваемся при рассмотрении термомеханических систем — моделей различных упругих и пластических материалов [21], элек­ тромагнитных явлений в поляризующихся средах [3, 26, 32] и т. д. Все эти случаи описываются обобщенным со­ отношением Гиббса

du = 2 П düi,

(3.20)

где П — термостатическая интенсивная величина, со­ пряженная с элементарным обратимым изменением удельного параметра сц [например, в (3.18): Г, —р, и т. д.]. Нам необходимо доказать, что в общем случае

различные элементарные обратимые изменения удельной энергии dwj всегда можно записать в виде dwi — T\dal.

Такой

подход

аналогичен

доказательству

выражения

drQ =

TdS (или dq = Tds)

для элементарного обрати­

мого

теплового

эффекта, основанному на

аксиоматике

п о

Глава 111

Каратеодори. Обобщение точной аксиоматики Каратеодори должно, очевидно, состоять в доказательстве спра­ ведливости соотношения (3.20) для любых обратимых из­ менений энергии [36, 37]. В силу этого (3.20) называется энергетической картиной (или энергетическим представ­ лением) обобщенного соотношения Гиббса. Соответ­ ствующая энтропийная картина

d s — y^Tidai

(3.21)

 

/=1

 

 

получается, если выбрать

в (3.20) П =

Т и a, = s:

 

f

Г, dar,

(3.22)

du = Tds + 2

 

j= 2

 

 

при этом для ds имеем выражение

 

1

f

Г-

(3.23)

ds = y du — ^ y - d c i i .

 

t = 2

 

Приравнивая коэффициенты перед величинами dai в

(3.21) и (3.23), находим

 

 

г,=т1 .

г;

(/ = 2 , 3 , . . . , / ) . (3.24)

Здесь Гг (і = 1, 2, ..., /) являются интенсивными вели­ чинами, относящимися к энтропийной картине [напри­ мер, в (3.19): ЦТ, p/Т, -n k /T ( k = 1, 2, ..., /С)]. Если известны уравнения субстанционального баланса (2.15) для величин а,-, то из субстанциональной производной соотношения Гиббса (3.21)

f

5 = 2 ^ - (3.25) Г—1

нетрудно определить уравнение баланса энтропии во всех случаях. В дальнейшем мы ограничимся определе­ нием уравнения баланса энтропии только для много­ компонентных гидротермодинамических систем. Для

Термодинамика континуума

этого нам достаточно соотношений (3.18) и (3.19), од­ нако обобщенные соотношения (3.20) — (3.25), которые включают и (3.18) и (3.19), понадобятся нам в даль­ нейшем.

Постулат о локальном равновесии для любой малой области континуума означает, что предполагается спра­ ведливость не только соотношения Гиббса, но и всех остальных термостатических соотношений. Так, напри­ мер, мы допускаем также, что существует удельная функция Гиббса (удельный термодинамический потен­ циал)

к

g = l j ^ k C k (3.26) k=1

и справедливо известное соотношение

dg = — sdT + и dp +

к

(3.27)

\ikdck,

*=i

из которого с помощью (3.18) можно получить уравне­ ние Гиббса — Дюгема

к

2 ckd\ik — — s dT -f- V dp, (3.28а) fe=i

или в другой форме

к

2 Pk d\ik — — ps dT + dp. (3.286) k=\

Это соотношение также имеет фундаментальное значе­ ние для термодинамики многокомпонентных систем и мо­ жет быть представлено (для пространственных измене­ ний переменных ца, Т и р) в виде

к

 

2 9kS^k = — psVr + \р .

(3.29)

k = \

 

Мы не станем приводить здесь остальные термостатиче­ ские соотношения, однако необходимо подчеркнуть, что гипотеза о целлулярном равновесии эквивалентна

112 Глава ІИ

предположению о справедливости всех уравнений равно­ весной термодинамики для бесконечно малых элементов мас£ы неравновесных систем.

(Постулат о локальном равновесии, очевидно, ограни­ чивает область применимости развиваемой теории. С ма­ кроскопической точки зрения область применимости тео­ рии можно установить, только сравнивая ее выводы с экспериментом. Раньше существовало мнение, что пред­ положение о локальном равновесии является довольно сильным требованием, которое выполняется лишь в си­ стемах, очень мало отличающихся от равновесных. Од­ нако в настоящее время благодаря успехам необратимой термодинамики, с одной стороны, и на основании кине­

тических

исследований Мейкснера

[38], Пригожина [39]

и Рейка

[40] — с другой, можно с

уверенностью утвер­

ждать, что локальное равновесие существует и в систе­ мах, весьма далеких от равновесия^ Не описывая по­ дробностей этих исследований, сошлемся на результаты Мейкснера. Мейкснер установил, что элементы объема одноатомного газа можно рассматривать как равновес­ ные малые области, если изменение температуры и ско­ рости на расстоянии длины свободного пробега малы по сравнению с величинами абсолютной температуры и скорости звука. Для газа в нормальном состоянии это означает, что его можно рассматривать как систему равновесных малых областей до температурного гра­ диента, составляющего приблизительно ІО5 °С/см, т. е. что до этого предела можно применять методы равновес­ ной термодинамики.ГВ настоящее время принято счи­ тать, что гипотеза о целлулярном равновесии при­ менима всегда, за исключением случая турбулентных явлений, быстрых процессов в плазме и ударных волн. Конечно, с точки зрения теории поля применимость усло"^ вия целлулярного равновесия для сингулярностей (кри­ вых, плоскостей) априори может зависеть и от многих других факторов. В качестве примера можно назвать пограничный слой полупроводников и т. п. Тем не ме­ нее пример Мейкснера и результаты необратимой тер­ модинамики доказывают, что гипотеза локального рав­ новесия, если отбросить особые случаи, является реали­ стическим приближением.

Термодинамика континуума

113

§ 2. Сохранение энергии и уравнения баланса внутренней энергии

Наша задача состоит в том, чтобы найти конкретные формы уравнений баланса (3.6) и (3.7) внутренней энергии. Уравнения баланса механической энергии были получены в предыдущей главе [см.(2.189) и (2.194)], а глобальной формой закона сохранения полной энергии, включающей внутреннюю энергию, является соотноше­ ние (3.4). Поэтому разумно попытаться получить урав­ нения баланса внутренней энергии из уравнения сохра­ нения полной энергии с помощью уравнений баланса механической энергии. Однако в подобных случаях воз­ никают трудности, связанные с учетом диффузионной кинетической энергии (2.173). Действительно, определе­ ние полной удельной энергии, по крайней мере на пер­ вый взгляд, можно дать в двух эквивалентных формах.

Определим полную удельную энергию обычным спо­ собом, т. е. как сумму удельной механической (2.188) и удельной внутренней энергий, иначе говоря, рассмотрим величину

б =

2 ^ 2_^ ir

“Ь Ф и-

(3.30)

Она удовлетворяет уравнению локального баланса без источников

+ Ѵ./® = 0,

(3.31)

которое выражает сохранение энергии [3, 4, 8, 18, 22, 31, 32]. Вычитание соответствующих частей (2.194) из (3.31) приводит к уравнению баланса

< 3 - 3 2 >

Сравнивая его с (3.6), (3.30) и (2.195), видим, что (3.32)

является локальным уравнением баланса внутренней энергии с локальной плотностью потока внутренней

энергии

к

/« = /е — /е = /е — 2 < P k h ~ Р ' V — pSmV (3.33)

m

k— }

114

Глава III

 

 

и плотностью источника

 

 

 

*„ = - а,и = - Р : Ѵо +

2ю . Ров +

2 /* ■

-

т

 

к=\

 

 

- S

S Фk

^ k i h (3--34)

 

fe=l /= 1

 

Если предположить, что при химической реакции выпол­

няется условие (2.185), и если определить как

тепловой

 

т0

поток величину, получающуюся при вычитании из зи

плотности конвективного потока внутренней

энергии

риѵ

к

Jq = fu — puv = J°e— fc=iф*/* — P ■V — рег>, (3.35)

то из (3.32) и (2.191) получается следующее уравнение локального баланса для внутренней энергии:

+ V ■(/, + риѵ) = - Р : Ѵс + 2© • Рѵа +

к

+ Y i Jk -Fk. (3.36)

k—\

Это уравнение баланса представляет собой первый закон термодинамики в локальной форме. Однако к бо­ лее привычной форме первого закона мы приходим, если преобразуем (3.36) с помощью (2.21) к субстанциональ­ ной форме. Таким путем, выбирая в (2.21) а = и, нахо­ дим из (3.36)

р« + Ѵ - / , = - Р : Vt) + 2<o. P™+ ' Z J u - F u . (3.37) fc=i

Сравнение этого субстанционального уравнения баланса с (2.15) показывает, что поток тепла, введенный соотно­ шением (3.35); совпадает с субстанциональной плот­ ностью потока внутренней энергии

(3.38)

Это соотношение следует рассматривать как точное определение понятия потока тепла, которым весьма сво­

Смотрите также файлы