Файл: Дьярмати, И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы.pdf

бодно пользуются в экспериментальной физике и тепло­ технике.

Путем небольших преобразований и упрощений чле­ на, соответствующего источнику ои, уравнение баланса внутренней энергии (3.37) нетрудно представить как некую более простую форму первого закона. Действи­ тельно, ограничиваясь случаем симметрического тензора давлений и используя только разложение (2.94), на­ ходим

к

сти = — Р : Ѵи + 2 h ■Fk = — pV • V — P" : Vv + k=i

к

+ 2 fk • Fk\ (3.39) ft=i

это соотношение, конечно, содержит меньше информа­ ции, чем (3.34). Вводя теперь в закон сохранения массы (2.17) вместо р удельный объем ѵ = р-1, имеем

Потребуем теперь, чтобы поток тепла Jq в соответствии с духом теории «теплового флюида» удовлетворял урав­ нению баланса

выражающему сохранение «теплового флюида» (вели­ чина dq = qdt есть количество тепла, переданное еди­ нице массы). Тогда уравнение баланса внутренней энер­ гии (3.37) с помощью (3.39) —(3.41) можно представить в виде

к

ü = q — pi) — vPv : Vü + V 2 h ■Fk- (3.42) *=i

Для последующего необходимо запомнить, что то­ ждество (3.38) представляет собой точное определение потока тепла Jq. Уравнение теплового баланса без ис­ точников (3.41) служит лишь для того, чтобы получить уравнения баланса внутренней энергии (3.36) и (3.37) в форме, подобной (3.42), поскольку последняя лучше согласуется с представлениями, применяемыми при

формулировке первого закона в экспериментальной фи­ зике. Разумеется, при сравнении уравнения (3.8), выра­ жающего первый закон, с уравнением баланса внутрен­ ней энергии (3.42) можно заметить, что последнее есть не что иное, как первый закон в локальной форме, опре­ деляющий изменение удельной внутренней энергии как сумму производимой работы и подведенного тепла dq\

Здесь первый член в правой части совпадает с работой расширения единицы массы континуума, второй член описывает работу, производимую против сил трения, и, наконец, сумма, стоящая в последнем члене, определяет работу внешних сил. Поскольку этот член с помощью (1.42) и (2.84) можно представить в виде

то очевидно, что сумма в последнем члене (3.43) опре­ деляет работу диффузии относительно центра масс. Вы­ ражение (3.44) показывает, что работа диффузии есть разность между полной работой, выраженной первой суммой, и работой результирующей внешней силы F, действующей на центр масс. Это и должно быть так, поскольку работу (рF-v)dt, производимую над центром масс, нельзя считать изменением внутренней энергии континуума. Действительно, согласно соотношению (2.147), это изменение определяется плотностью внеш­ него источника трансляционной кинетической энергии центра массы.

Вернемся к затронутому ранее вопросу относительно полной энергии многокомпонентного континуума. Пре­ жде всего подчеркнем, что для многокомпонентного кон­ тинуума энергия е (3.30) не равна полной удельной энергии такого континуума, поскольку в е и ет не вхо­ дит кинетическая энергия диффузии (2.173). Следо­

вательно, величину е нельзя рассматривать как полную удельную энергию по той же самой причине, по которой величина е™, если исключить частный случай одноком­ понентных систем, не равна полной удельной механиче­ ской энергии. Из сказанного ясно, что для многокомпо­ нентного континуума полная удельная энергия не рав­

на е, а имеет вид

к

e< = 8m+ Uz= Y v2 + 1 Г Ѳо)2 + y S CkWl + V + U’ (3-45) fc=i

поскольку в нее должна входить и кинетическая энергия диффузии.

Две возможности выбора полной удельной энергии (3.30) и (3.45), как нетрудно понять, обусловлены тем, что существуют две различные возможности выбора (2.188) и (2.196) полной удельной механической энер­ гии. Очевидно, что величины гт и е, в которые не входит кинетическая энергия диффузии, в случае многокомпо­ нентного континуума нельзя рассматривать как полную удельную энергию. Вопрос о том, являются ли е и е‘ полными удельными энергиями, для которых обязатель­ но должно существовать уравнение баланса без источ­ ника, выражающее сохранение энергии, имеет очень важное значение, а отнюдь не является делом свобод­ ного выбора. Поэтому все приведенные в литературе [3, 4, 8, 18, 22, 31, 32] выводы, опирающиеся на уравне­ ние баланса (3.31), которое выражает необходимый за­ кон сохранения удельной энергии е, следует считать не­ полными, хотя в дальнейшем мы увидим, что в боль­ шинстве случаев выводы, основанные на (3.31), остаются в сущности неизменными и при строгом подходе. Тем не менее рассмотрение, которое использовалось до сих пор, не позволяет получить полную информацию об энерге­ тических соотношениях в случае многокомпонентных си­ стем, и, поскольку оно может ввести в заблуждение, его следует дополнить и исправить. Необходимые добавле­ ния и исправления будут сделаны в дальнейшем.

Очевидно, что адекватные уравнения баланса вну­ тренней энергии можно в принципе вывести корректно, потребовав, чтобы для полной энергии гг (3.45)

существовало уравнение баланса без источников

выражающее сохранение энергии. Отсюда, используя (3.45) и (2.198), можно написать локальное уравнение баланса внутренней энергии

Это уравнение отличается от (3.32) лишь тем, что удель­ ная внутренняя энергия и теперь, согласно (3.45), опре­ деляется как

а соответствующая локальная плотность потока описы­ вается уравнением

(3.49)

Из (2.198) и (3.49) получаем для локальной плотности потока полной энергии выражение

по-прежнему содержит конвективную плотность потока реаѵ кинетической энергии диффузии (2.173) относитель­ но движения центра масс.

Практически соотношения (3.45) и (3.50) эквива­ лентны подобным соотношениям (3.30) и (3.35). Однако с теоретической точки зрения важно получить закон со­ хранения энергии для реальной полной энергии е4, а не для е. Примечательно, что определение удельной вну­ тренней энергии (3.30) согласуется с (3.45) или с (3.48), поскольку удельная внутренняя энергия берется как разность. Согласно любому определению, внутренняя энергия представляет собой некоторую удельную вели­ чину энергии, которая не содержит кинетической энер­

гии диффузии, связанной с макроскопическим диффузи­ онным движением компонентов. Другими словами, вве­ денная нами выше удельная внутренняя энергия в обоих случаях зависит только от микропараметров и в соот­ ветствии с обычным пониманием внутренней энергии включает в себя вклады тепловых возбуждений и взаи­ модействий между частицами.

Мы уже говорили о том, что в литературе при определении уравнения баланса внутренней энергии обычно исходят из закона сохранения (3.31) для е [3, 4, 8, 18, 22, 31, 32]. Это связано, по-

видимому, с тем, что уравнения баланса механической энергии Ет [например, (2.189) или (2.194)] были получены раньше; таким об­ разом, существовала возможность вывести уравнение баланса внут­ ренней энергии, пользуясь только ими. Иначе говоря, до сих пор мы ограничивались механическими уравнениями баланса для энер­ гетических величин, содержащих только кинетическую энергию центра масс et == ѵ2/2 и не включающих в себя кинетическую энер­ гию диффузии. Действительно, уравнения баланса для полной

удельной трансляционной кинетической энергии (2.170) можно

записать непосредственно лишь тогда, когда их можно вывести из уравнений баланса импульса типа (2.76). Однако такой непосред­ ственный вывод до сих пор неизвестен. Таким образом, хотя соот­ ношения (3.45) — (3.50) и дополняют набор привычных уравнений и приводят к более точной (и в принципе правильной) картине ба­ ланса внутренней энергии, необходимы дальнейшие исследования в этой области. На следующих примерах мы покажем, к каким ошибкам может привести неясная постановка условий.

Будем считать полной энергией величину е, определенную со­ отношением (3.30). Вычтем из (3.30) удельную механическую энер­

fc=i

Точно так же, используя (3.31) и (2.188), приходим к другому определению внутренней энергии

К

fc=l

Очевидно, что ни и*, ни и** не являются корректными значениями внутренней энергии. Наш пример показывает, насколько большую осторожность следует проявлять при интерпретации локальной внутренней энергии. Действительно, в превосходной в остальном монографии де Гроота и Мазура [3] мы находим два различных

120 Глава III

определения удельной внутренней энергии: первое, которое следует

если в полную механическую энергию включена кинетическая энер­

вании приведенных выше соображений мы считаем, что подошли ближе к определению правильного уравнения баланса внутренней энергии для многокомпонентных систем, следует еще раз подчерк­ нуть, что в этой области необходимы дальнейшие исследования.

Уравнения баланса (3.36) и (3.37), а также (3.42), выражающие первый закон в локальной форме, показы­ вают, что в общем случае внутренняя энергия не сохра­ няется. Если, например, плотность источника аи в урав­ нении субстанционального баланса (3.37) записать

ае = — <т? .

игт

Существенно отметить, что в выражении для плот­ ности «внутреннего» источника (3.55) все члены, за исключением члена р\-ѵ — ррѵ, связанного с работой расширения, относятся к работе вязких сил. Таким об­