Файл: Дьярмати, И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 116
Скачиваний: 0
Термодинамика континуума |
121 |
разом, из (3.55) можно видеть, что в классическом экс перименте Джоуля с вращающимися лопастями макро скопическая кинетическая энергия масс, вращающих лопасти, превращается через работу вязких сил в кине тическую энергию молекул жидкости, т. е. во внутрен нюю энергию.
§ 3. Уравнения баланса энтропии и производство энтропии
С помощью приведенных выше уравнений баланса можно определить уравнения баланса энтропии, играю щие в неравновесной термодинамике центральную роль. Определим конкретную форму уравнения баланса энтро пии (3.16) для достаточно общей модели многокомпо нентной гидротермодинамической системы. Подставим й из (3.37) в уравнение Гиббса (3.19) и одновременно исключим из него сь. с помощью уравнения баланса ком понентов (2.46); это дает
• , |
Т7 |
1 |
к |
v |
. ж _ |
|
|
Ѵ |
ШІЧ |
V V-k |
|
||||
рЗ “j- |
|
у. |
J, |
V • |
Jk |
|
|
|
|
|
k= \ |
|
|
|
|
|
- S S |
W k i ' i + |
|
I 1 h - F k - p - Vv + ^ - pva |
|
||
|
|
j= 1 k=l |
|
k=l |
(3.57) |
||
~~ |
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
||
Уравнение (3.57) не соответствует уравнению субстан ционального баланса энтропии типа (3.16). Если, одна ко, преобразовать дивергенцию с помощью соотношений
и |
І - Ѵ - / , = Ѵ |
(3.58) |
|
|
|
4 |
= |
(Ä = l, 2, ... , К), (3.59) |
азатем записать подробно два последних члена в (3.57)
всоответствии с выражением (3.54) для плотности ис точника Ои, то получим уравнение субстанционального
122 Глава III
баланса энтропии
|
Jq ~ |
к |
VkJk |
|
|
|
|
ps + V |
2 |
= |
|
|
|
||
-------- |
k- f ------ |
|
|
|
|
||
2 |
h A ) + |
V |
К + |
2 Jk • 4 |
+ |
P °X *0 |
+°P0S: X f + p ° a • x f |
/=l_____________ ft=i_________________________ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
(3.60) |
Здесь |
величины |
Л/, |
X> Xu, |
X„, |
ХГ> |
представляют |
|
собой так называемые термодинамические силы. По определению, они имеют следующий смысл.
Химическое сродство для /-й реакции |
|
|
к |
|
|
Л / = - 2 и * ѵ * , |
( / = 1 , 2 , . . . , / ? ) |
(3.61) |
k=\ |
|
|
является скалярной термодинамической силой, сопря женной со скаляром Jj — скоростью /-й химической ре акции.
Полярный вектор
X*q = — = — V 1п Г |
(3.62) |
представляет собой термодинамическую силу, обуслов ливающую явление теплопроводности 1) и сопряженную с полярным вектором плотности потока тепла Jq. Иногда эту силу обозначают Хи [4], исходя из общего опреде ления плотности потока тепла (3.38).
Термодинамические силы диффузии, включающие в себя также произвольные внешние силы Fu, записы ваются следующим образом:
X t ^ F u - T X (k = l, 2, . .. , КУ, (3.63)
эти силы сопряжены с плотностью потока диффузии Д.
Скалярная сила вязкости |
|
XI = — V • V |
(3.64) |
*) Скорее, энтропопроводности, поскольку |
(3.57) —(3.60) опре |
деляют поток энтропии. — Прим. ред< |
|
Термодинамика континуума |
123 |
сопряжена с вязким давлением рѵ как со скалярным потоком импульса, который обусловливает явления, свя занные с объемной вязкостью сжимаемых жидкостей.
Тензорная сила вязкости
(3.65)
сопряженная с симметрической частью тензора вязкого
о
давления второго ранга Р®8 со следом, равным нулю, вызывает явления вязкого сдвига.
Наконец, аксиальный вектор
X f = |
- ( V X ü - 2 ( « ) |
(3.66) |
сопряжен с аксиальным |
вектором Рѵа, |
образованным |
антисимметрической частью тензора вязкого давления, который представляет собой термодинамическую силу, вызывающую необратимый процесс, по крайней мере в любой жидкой системе, где не выполняется закон сохра нения момента количества движения.
Сравнивая (3.60) с общим уравнением баланса (3.16), можно видеть, что субстанциональная плотность потока энтропии равна
= ------ k-Y ------- (3.67)
а умноженное на Т производство энтропии о, или так
называемое рассеяние |
энергии, определяется |
как |
R |
к |
|
Т а = J/Л/ + Jq ■Xq + |
2 Jk ' X*k+ |
|
/= 1 |
k—i |
|
+ pvxl + P vs : xf + P va ■ x % \ |
(3.68) |
|
Такое количество энергии рассеивается в единице объ ема в единицу времени в многокомпонентных реагирую щих неизотермических вязких гидротермодинамических системах, если в них происходят неравновесные процес сы, о которых шла речь. С другой стороны, эта энергия была уже обнаружена в более простых частных случаях;
124 |
Г лава III |
Клаузиус (см. [5]) назвал ее нескомпенсированным теп лом. Согласно неравенствам (3.11) и (3.146), выражаю щим второй закон для неравновесных превращений, рассеяние энергии То и соответственно производство эн тропии
должны быть положительно определенными величинами. Остановимся теперь на важной проблеме представле ния. Рассеяние энергии То есть положительно опреде ленная величина, которая является локальной мерой
неравновесности и определяется адекватным набором
о
термодинамических |
потоков Jj, Jq, Jh, рѵ, Риз, Pva |
и со |
||
ответствующих |
сил |
(3.61) — (3.66) |
согласно билинейной |
|
форме (3.68). |
Термодинамические |
силы (3.61) — |
(3.66) |
|
непосредственно определяют рассеяние энергии То. Та ким образом, если мы намереваемся непосредственно определить выражение для производства энтропии, то целесообразно ввести новые величины — термодинами ческие силы:
|
(3.73) |
|
(3.74) |
Xг |
(3.75) |
Xav = - Y - = - Y < y X v - 2 & ) , |
Термодинамика континуума |
125 |
с помощью которых производство энтропии можно пред ставить в виде
O' — |
/ jAj + Jq • Xq + 2 |
Jk ' %k + |
PV%v + |
|
/ = I |
fc=l |
|
|
|
|
+ |
P os : Хи + |
Pva ■Xv ^ 0. |
(3.76) |
В дальнейшем силы, обозначенные звездочкой, мы будем называть термодинамическими силами, относящи мися к рассеянию энергии Та. Поэтому если мы исполь зуем их в наших расчетах и непосредственно опреде ляем рассеяние энергии, то можно сказать, что мы ра ботаем в энергетическом представлении. Если же мы стремимся непосредственно определить о, пользуясь си лами (3.70) — (3.75), то можно сказать, что мы работаем в энтропийном представлении1). Оба представления имеют свои преимущества и недостатки при решении различных вопросов. Очевидно, что эти представления можно преобразовать друг в друга с помощью формул (3.70) — (3.75). Поэтому до тех пор, пока нас не вынуж дают особые обстоятельства, мы ограничимся анализом одного представления. В дальнейшем мы остановим свой выбор на энтропийном представлении (3.76).
Согласно (3.76), производство энтропии включает в себя четыре члена, соответствующих источникам, отно сящимся к неравновесным процессам, имеющим суще ственно различную физическую природу. Эти источники определяются билинейными формами от плотностей и сил, имеющих различные тензорные ранги. Так, источ ник энтропии, обусловленный химическими реакциями,
определяется как сумма |
билинейных |
форм скаляров Jj |
и Ар |
к |
|
|
|
|
°с ^ |
2 JjAj. |
(3.77) |
|
/=і |
|
’) В полезности этих новых названий для различных представ лений мы убедимся в гл. V и VI.
126 |
Г лава III |
Производство энтропии, относящееся к теплопроводно сти, определяется произведением полярных векторов Jq
и
а* = 7* X ч- |
(3.78) |
Точно так же производство энтропии, обусловленное диффузией, есть сумма скалярных произведений поляр ных векторов /ft и Хи, т. е.
(3.79)
k=i
Наконец, производство энтропии, обусловленное вязки ми явлениями
<г„ s= рѵх ѵ + Pas : к + Р ѵа • хаѵ, |
(3.80) |
определяется билинейной формой от плотностей потока импульса и соответствующих термодинамических сил, относящихся к явлениям объемной вязкости, сдвиговой вязкости и вязкости внутреннего вращения. Выражение для полного производства энтропии (3.76) справедливо в случае, когда одновременно происходят четыре выше упомянутых процесса. Его можно получить как сумму значений производства энтропии в каждом из этих про цессов. Следовательно, в общем случае а можно рассма тривать как билинейную форму от / независимых ска лярных потоков / і и скалярных сил Хіу т. е.
f
a = '2 i J tXt. |
(3.81) |
<=1 |
|
На первый взгляд кажется, что в рассматриваемое выра жение (3.81) для производства энтропии дают вклад / — .К + З + З/С+ 1 + 5 + 3 независимых компонентов скалярных потоков и сил. Однако это не так, поскольку диффузионные плотности потока Ju должны удовлетво рять локальному дополнительному условию (1.43), с по мощью которого можно исключить из (3.79) плотность потока любого компонента, например / К. Следовательно, выражая производство энтропии, обусловленное диффу