Файл: Дьярмати, И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 120
Скачиваний: 0
Термодинамика континуума |
127 |
зией, через независимые плотности потока и силы, полу чаем
к- 1
О а ^ ^ І к - Х 'ь , (3.82) k=1
где
X'k SS |
( £ = 1 ,2 , . ... / ( - 1 ) (3.83) |
— диффузионные силы, сопряженные с независимыми плотностями потоков. Соотношение (3.82) показывает, что количество билинейных форм, образованных из де картовых компонент независимых потоков и сил, в соот ветствии с (1.43) уменьшается до / = # + 3 + 3 (К — 1) + + 1 + 5 + 3.
§ 4. Линейные кинематические конститутивные уравнения
При термодинамическом равновесии производство энтропии о равно нулю, и, таким образом, независимые компоненты скалярных сил и сопряженные с ними ком поненты скалярных потоков одновременно также обра щаются в нуль. Это условие, а также наиболее общая связь между независимыми потоками и силами выра жаются в линейном приближении с помощью линейных кинематических конститутивных уравнений (законов) Онсагера:
f |
і і А |
( i = l , 2, ... , f). |
(3.84) |
/ ( = 2 |
|||
k=i |
|
|
|
Здесь скаляры + |
и Xk обозначают независимые ска |
||
лярные термодинамические потоки и силы, а в случае векторных и тензорных процессов — все декартовы ком поненты соответствующих тензорных и векторных вели чин, входящих в билинейные выражения для производ ства энтропии (3.76).
В дальнейшем мы будем часто называть «потоками» скалярные потоки, а в векторном и тензорном случае — плотности потоков их скалярных компонент. В выраже нии (3.76), которое справедливо для многокомпонентных
128 L лава t i t
и реагирующих гидротермодинамических систем, число
скалярных компонент независимых |
потоков и сил |
равно f = R + 3 + 3(К — 1) + 1 + 5 + |
3; следователь |
но, прямоугольная матрица коэффициентов проводимо сти содержит f2 = R2 9К2+ 6KR + 18/? + 54/С + 81
скалярных элементов. Коэффициенты Онсагера L«, ра зумеется, являются функциями локальных параметров состояния: температуры, давления, химических потенциа лов, зависящих от концентраций, или, возможно, на пряженности магнитного поля и т. и. Однако в линейной теории коэффициенты считаются не зависящими от по токов и сил, входящих в конститутивные линейные урав нения (3.84), т. е. от градиентов параметров локального состояния.
Мы утверждаем, что предыдущее справедливо также
для потоков и сил (3.68), |
но в этом случае |
необходимо |
использовать линейные конститутивные уравнения |
||
f |
(/= 1 , 2, . . . , /), |
(3.85) |
Ji = %L*kXl |
||
k=i |
|
|
относящиеся к энергетическому представлению. Коэффи циенты Онсагера в линейных уравнениях (3.84), соот ветствующих энтропийному представлению, и в уравне ниях (3.85), соответствующих, согласно (3.70) — (3.75), энергетическому представлению, относящемуся к силам, должны быть связаны соотношениями
Lik — TL*ik (/,6 = 1 , 2 , . . . , / ) , |
(3.86) |
поскольку потоки в обоих представлениях идентичны. Теперь приведем конкретную форму линейных кинема тических конститутивных уравнений (3.84) для систем, обладающих совершенно произвольными анизотропными свойствами, а в дальнейшем и для случая изотропных тел.
а. Анизотропный случай. Большая часть гидротермо динамических систем изотропна, однако иногда при ре шении общих задач, а также при рассмотрении опреде ленной категории систем (например, ионизованной газо
Термодинамика континуума |
12 |
$ |
вой плазмы в магнитных полях) необходимо знать кон кретные формы основных линейных кинематических уравнений для случая произвольных анизотропных си стем. Используя соотношения (3.82) и (3.83), приведем окончательный вид выражения для производства энтро пии
СТ= 2 |
+ рѴ%ѵ + |
' Xq + |
|
/=1 |
|
|
|
|
+ 2 h ■x'k+ Pva ■Xav + P o s : h |
> 0, (3.87) |
|
|
k—i |
|
|
которое |
содержит |
только независимые |
параметры. |
В этом выражении члены, описывающие производство энтропии для отдельных необратимых процессов, распо ложены так, что ранг входящих в них тензоров пото ков и сил возрастает слева направо. Учитывая ранг тензоров потоков и сил, а также их полярный и аксиаль ный характер и принимая во внимание взаимодействие всех декартовых компонент независимых потоков и сил, выраженное при описании перекрестных эффектов коэф фициентами со смешанными индексами, получаем сле
дующую схему основных линейных уравнений |
(3.84): |
|
||||||
|
R |
(ss) |
(ss) |
(sv) |
|
|
|
|
Jj = |
2 |
ЦгАг + |
LCj°Xv - | - |
LCj4 • Xq - f - |
|
|
|
|
|
r — I |
|
|
|
(st) о |
|
|
|
|
K-l (sv) |
(sa) |
|
|
|
|||
+ |
2 |
Ц І • X'k + L? |
■Xav + LT : XI( / = 1, 2, |
. . . , |
R), |
|||
|
k=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
(ss) |
(ss) |
(sv) |
|
|
|
|
p" = |
2 |
LvrcAr + |
Lvvx v + Lvq • X , + |
|
|
|
||
|
r=l |
|
K-I |
(sv) |
(sa) |
(st) |
о |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
+ |
2 |
Lld -X'k + |
Lvv - x l + Lvv:Xl, |
||
|
|
|
|
fe=i |
|
|
|
|
|
R |
(Vs) |
(vs) |
(vv) |
|
|
|
|
J q ^ L 2 r ^ r + |
L9t% + |
Lw - X q + |
|
|
r=1 |
K-l |
(vv) |
(va ) |
(i>t) о |
|
||||
+ |
2 |
L f |
■X'k + LT • X%+ |
Lqv: x t (3.88) |
|
fc=i |
|
|
|
5 З а к . 787
130 |
|
|
Глава |
l i t |
|
|
|
|
R |
(VS) |
{v s ) |
|
xq• + |
|
|
|
|
Ji = 2 |
|
LfrAr + L f x v + L |
f |
|
|
|
||
r = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
К — I |
( v v ) |
(v a ) |
(i>t) |
о |
|
|
|
|
p va = |
R |
(a s ) |
(a s ) |
(a v ) |
|
|
|
|
2 |
L ocA r + L w X g + |
L»? . X q + |
|
|
|
|||
|
|
|
K —- l\ ( a v ) |
( a a ) |
(a t) |
0 |
||
0
~Ь Хш L* • Лй -j- L • Л0 -j~ L ; X0.
(3.88)
В этой тензорной форме линейных кинематических урав нений верхний (заключенный в скобки) индекс тензора проводимости обозначает тип тензора парных сопряжен ных потоков и сил, а боковой индекс (не заключенный в скобки) указывает физический смысл этого сопряже
(s v )
ния. Например, тензор удельной проводимости Lv<i опи сывает перекрестный эффект теплопроводности (q) и плотности вязкого потока (у), т. е. сопрягает скалярные и векторные процессы в соответствии с заключенной в скобки парой индексов (sv). Следовательно, в общем случае верхние индексы (sS), (sa), (ta), (tt), ... обо
Pзначают° S = Z J типL r Л парыг f L: скалярЛ и - f L-— ’скаляр+ , скаляр — аксиаль r=l
ный вектор, симметрический тензор со следом, равным нулю, — аксиальный вектор и т. д. Нижние индексы / и г, так же как и раньше, относятся к химическим реак циям, а индексы і и k — к компонентам.
Ранг тензоров коэффициентов линейной удельной проводимости и их полярный или аксиальный характер указаны в следующей таблице:
|
Термодинамика континуума |
131 |
Р а н г т е н з о р а |
П о л я р н ы е в е к то р ы |
А к с и а л ь н ы е в е к т о р ы |
0 (скаляр)
1 (вектор)
2(тензор)
3(тензор)
4(тензор)
|
(S S) |
(S S) |
(SS) |
(S S) |
|
|
|||
|
г СС |
J |
cv |
/ VC LVV |
|
|
|||
|
ЬІГ> L |
j > |
L |
r , |
|
|
|
|
|
(SU) |
(SU) |
(SU) |
(SU) |
(US) |
(*tt) |
||||
L cq |
L oq, |
г |
cd |
r |
vd |
L qc, |
г |
de |
|
У > |
L /k’ Lk |
^ir' |
|||||||
|
|
(U S) |
(US) |
|
|
|
|
||
|
|
L qc, L f |
|
|
|
|
|||
(ѵѵ) (vv) (vv) |
vv) |
(s t) |
(5 t ) |
|
|||||
\JQ |
L f . |
Г" |
|
1 |
dd |
1 |
cv |
1 vv |
|
|
|
|
Lik ’ |
W |
» |
l- |
» |
||
|
its) |
|
(ts) |
|
(аа) |
|
|
|
|
|
[VC |
[ѴѴ |
^vv |
|
|
|
|||
|
(Dt) |
(ut) |
(tu) |
(tu) |
|
|
|||
|
L</t> |
^ d v |
|
|
IJ jd |
|
|
||
(tt)
I^UU
( s a ) |
( s a ) |
( a s ) |
( a s ) |
T CD L vv |
T VC |
L vo |
|
|
|
L r |
|
( u a ) |
(u a ) |
(a u ) |
( a u ) |
|
1 dv |
|_ud |
L f |
L q v , |
‘-i > |
|
|
|
(a t) |
(ta ) |
|
|
^uu |
^uo |
|
б . П р и н ц и п К ю Основноер и . содержание принципа Кюри состоит в следующем: благодаря возможной про странственной симметрии в анизотропных системах чис ло коэффициентов в линейных уравнениях уменьшается таким образом, что не все декартовы компоненты по токов зависят от компонент сил [41]. Этот принцип особенно важен в случае изотропных систем; теорема, которая может быть сформулирована для этого случая, и есть так называемый принцип Кюри. Как показали де Гроот и Мазур [3], в изотропных системах декартовы компоненты термодинамических сил различного тензор ного ранга и вида преобразуются при вращении и ин версии таким образом, что сохраняются только связи между потоками и силами одинакового тензорного ран га. Иначе это можно выразить следующим образом: при применении линейных законов к изотропным системам все тензоры превращаются в скаляры, умноженные на единичный тензор 6, т. е.
L = Lb, |
(3.89) |
где L — соответствующий скаляр. Итак, для изотропных систем принцип Кюри, может быть сформулирован
б*
132 |
Глава III |
следующим образом: в изотропных системах явления, которые описываются термодинамическими силами и по токами различного тензорного ранга и вида (по крайней мере в случае взаимодействий, которые описываются с помощью конститутивных линейных уравнений), не влияют друг на друга.
в. Изотропный случай. Последовательное применение принципа Кюри к линейным кинематическим уравне ниям (3.88) приводит к выводу, что для изотропного континуума следует использовать линейные конститу тивные уравнения:
J , = |
2 l L ,rAr + |
LT,Xv ( / = 1, |
2, ., |
R ) , |
(3.90) |
|
|
г—1 |
|
|
|
|
|
Рѵ = |
Д |
(SS) |
|
|
(3.91) |
|
2 |
1ЛеАг + |
LX V, |
|
|
||
|
r= 1 |
К - |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(3.92) |
||
J q — |
L q q X q + 2 L qkX 'k, |
|
|
|||
|
|
k = \ |
|
|
|
|
|
|
K- |
1 |
|
K - l ) , |
|
|
|
|
(/= 1 , |
2 , . . . , |
(3.93) |
|
|
|
fe=I |
|
|
|
|
Poa = |
( a a ) |
|
|
|
|
(3.94) |
L Xq, |
|
|
|
|||
0 |
(tt)0 |
|
|
|
|
(3.95) |
Pas = |
LXt. |
|
|
|
||
Они уже содержат только скалярные коэффициенты. Здесь у всех коэффициентов, которые без сомнения мож но выделить, боковые индексы, показывающие физиче скую природу коэффициентов, опущены [за исключением индексов (qq), относящихся к теплопроводности, которые поставлены внизу]. Точно так же из-за скалярного ха рактера коэффициентов верхние (заключенные в скоб ки) индексы, указывающие на тензорный характер, опу-
щены везде, |
(ss) (aa) |
(tt) |
|
за исключением коэффициентов L, |
L |
и L |
|
в вязкостных законах. |
|
|
|
Конститутивные линейные уравнения (3.90) —(3.95), |
|||
относящиеся |
к изотропному случаю, показывают, |
что в |
|