Файл: Дьярмати, И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы.pdf

138 Глава 111

Здесь мы не имеем возможности доказать справедливость этих соотношений. Однако следует отметить, что их справедливость свя­ зана с гипотезой микроскопической обратимости, которая обычно обосновывается при помощи флуктуационной теории (см., напри­ мер, [3, 4], а также оригинальные работы [27, 42]). Следовательно, справедливость соотношений взаимности основана, по крайней мере на сегодняшний день, на гипотезах, базирующихся на механике, которая в сущности чужда термодинамике. С другой стороны, оче­ видно также, что доказательства с помощью теории флуктуаций, использующие математический аппарат теории стохастических про­ цессов, нельзя рассматривать как строго статистические, по крайней мере в точном гиббсовском смысле1). Поэтому в феноменологиче­ ской термодинамике, если мы хотим оставаться верными духу этой теории, соотношения взаимности следует рассматривать или как экспериментально подтвержденные аксиомы, или попытаться дать их непосредственный феноменологический вывод. Хотя в последние годы делалось много попыток в таком направлении [36, 43—46], необходимы дальнейшие исследования. Действительно, абсолютно справедливо мнение Трусделла [47]: «Если соотношения взаимности верны, то должна существовать и возможность их чисто феноме­ нологического вывода».

С помощью общих соотношений взаимности (3.113) можно сразу же получить для конкретных случаев соот­ ношения взаимности для коэффициентов конститутив­ ных линейных уравнений, содержащих независимые по­ токи и силы.

а. Анизотропный случай. Поскольку силы и потоки в линейных уравнениях (3.88) независимы, можно не­

если мы будем рассматривать систему коэффициентов (3.88) как гиперматрицу, то все ее диагональные блоки*)

*) Необходимо отметить недавние успешные исследования, про­ веденные Я. П. Терлецким и его соавторами, которые показали, что точные теоремы для флуктуаций и корреляций могут быть получены общими методами статистической механики, т. е. точным методом Гиббса [87—92].

Часть 2

Вариационные принципы

О ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПАХ ВООБЩЕ

Как известно, в некоторых областях физики, где до­ стигнута высокая степень точности, помимо генетических и индуктивных методов исследования все большее зна­ чение приобретают дедуктивные математические методы. Другими словами, конструктивные методы наряду с ге­ нетическим аксиоматическим методом используются при разработке теории и ее практическом применении, а также в преподавании. Кратко говоря, сущность кон­ структивного аксиоматического метода заключается в дедуктивном построении физической дисциплины, кото­ рое в основном осуществляется при помощи вариацион­ ного исчисления.

Вариационное исчисление является на редкость все­ объемлющим математическим методом. С его помощью можно разобраться в мельчайших деталях различных физических вопросов и вывести относящиеся к ним фун­ даментальные уравнения из вариационных принципов, выражающих точные физические законы. Поскольку благодаря вариационной технике стал возможен про­ гресс в некоторых областях физики, вариационное ис­ числение можно рассматривать как важный метод, имеющий также эвристическое значение. Если еще

учесть, что при постановке задачи в вариационной фор­ ме вместо дифференциальных уравнений, описывающих различные проблемы, мы отыскиваем решение с помо­ щью прямых методов вариационного исчисления, то нет надобности дальше доказывать практические преимуще­ ства вариационного метода.

Наиболее характерные черты вариационных принци­ пов состоят в следующем:

1.Вариационный принцип всегда содержит положе­ ния, относящиеся к модели системы в целом.

2.Он относится к экстремуму скалярной функции, что априори обеспечивает инвариантность описания.

3.Он всегда включает в себя дифференциальные уравнения, представляющие собой фундаментальные уравнения исследуемой области науки вместе с гранич­ ными условиями, условиями перехода и условиями при­ нуждения.

Внастоящей работе мы не можем останавливаться

этим см. работы [48—50].)