Файл: Дьярмати, И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы.pdf

ГЛАВА IV

Принцип наименьшего рассеяния энергии

Точно так же, как основные уравнения механики и электродинамики выводятся из известных вариацион­ ных принципов (принцип д’Аламбера, принцип наимень­ шего принуждения Гаусса, которые являются дифферен­ циальными принципами) или из вариационных принци­ пов, понимаемых в более узком смысле (принцип наименьшего действия Мопертье и в особенности прин­ цип Гамильтона, которые являются интегральными прин­ ципами), основные уравнения термодинамики можно вы­ вести из одного-единственного вариационного принципа. Этот принцип был впервые сформулирован Онсагером и назван принципом наименьшего рассеяния энергии

[27]. Первая его формулировка относилась к частному случаю теплопроводности в анизотропной среде; обоб­ щения удалось достичь только после того, как в 1953 г. Онсагер и Махлуп [51], затем в 1957 г. Тисса и Маннинг [52] распространили принцип на случай адиабатически изолированных не непрерывных систем. То обстоятель­ ство, что первоначально принцип был сформулирован для частных случаев, препятствовало его дальнейшей разработке и широкому практическому применению. Это видно хотя бы из того, что в большинстве монографий принцип наименьшего рассеяния энергии даже не упо­ минается [3, 8, 18, 22, 30, 32]; исключение составляет работа [4], которая, однако, тоже не отражает полностью содержания оригинальных работ.

Важные вопросы (даже если принять во внимание более ранние, но не опубликованные результаты [36]) были поставлены Оно [53] в 1961 г. К. тому времени

принцип наименьшего производства энтропии, установ­ ленный Пригожиным [54, 39, 22, 28], уже широко при­ менялся, однако связь этого принципа с принципом Онрагера еще не была проанализирована. Оно был пер­

вым, кто попытался выяснить соотношение между прин­ ципом минимального производства энтропии и принци­ пом наименьшего рассеяния энергии. Он находился вдо­ вольно трудном положении, поскольку известные к тому времени конкретные формулировки принципа Онсагера делали невозможным общий анализ. Основная особен­ ность конкретных формулировок заключалась в том, что варьирование проводилось по потокам при условии по­ стоянства сил, поэтому Оно был прав, считая, что раз­ личие между принципами Онсагера и Пригожина заклю­ чается в условиях вариации. Действительно, основная особенность принципа Пригожина состоит в том, что варьирование производится одновременно по потокам и силам. Выводы Оно вызвали живой интерес (Дьярмати [55—58], Киркальди [59]). Интересно, что альтернатив­ ное представление принципа Онсагера, в котором варьи­ рование производится по потокам при условии постоян­ ства сил, было уже известно раньше (Дьярмати [36]). Хотя окончательное выяснение характера связи между принципами Пригожина и Онсагера закончено лишь не­ давно [60], упомянутые выше исследования способство­ вали общему развитию принципа Онсагера и расшире­ нию области его применения, а также установлению но­ вого интегрального принципа термодинамики.

В дальнейшем при изложении принципа наименьшего рассеяния энергии мы будем следовать работам [55—58]. Первоначальные формулировки Онсагера [27, 51], дан­ ные для частных случаев, выводятся из новых и более общих формулировок. Мы увидим, что общая, формули­ ровка принципа во всех отношениях соответствует духу теории поля. Поэтому уравнения теории поля уже со­ держатся в принципе наименьшего рассеяния энергии; таким образом, им можно пользоваться для исследова­ ния всех процессов, обсуждавшихся в предыдущих гла­ вах.

§ 1. Неравновесные потенциальные функции

Рассмотрим билинейное выражение для производ­ ства энтропии

и сил Хі. Поскольку производство энтропии можно все­ гда представить в виде суммы произведений соответ­ ствующего числа потоков и сопряженных с ними сил, соотношение (4.1) справедливо в самом общем случае независимо от того, даны или нет линейные соотноше­ ния, связывающие потоки и силы. В случае конститутив­ ных линейных уравнений

используя соотношения взаимности Онсагера для ко­ эффициентов

Lik = Lki ( * , £ = 1 , 2 , . . . , / ) , (4.3)

величину о также можно представить в виде однород­ ного квадратичного выражения, содержащего термоди­ намические силы, т. е.

(4.2). Поскольку, согласно второму закону, производ­ ство энтропии а должно быть положительно определен­ ной величиной (по крайней мере для неравновесных процессов), все диагональные элементы симметрической матрицы Lik + Lhi положительны, а для недиагональных элементов должны выполняться следующие соотноше­

Вводя матрицу сопротивлений Rik, обратную матрице Lih, получаем

(обобщенных скоростей) и характеризует параметры со­ стояния.

Потенциальный характер функций lF и Ф соответ­ ственно для потоков и сил можно понять, обращаясь к конститутивным линейным уравнениям

f

выражающим соотношения взаимности. Следовательно, первые производные функции рассеяния содержат кон­ ститутивные линейные уравнения, а равенство вторых смешанных производных друг другу эквивалентно соот­ ношениям взаимности Онсагера. Таким образом, потен­ циалы W и Ф построены на основе линейной теории Онсагера; они включают в себя ее исходные утвержде­ ния, т. е. конститутивные линейные уравнения и соотно­ шения взаимности для коэффициентов. С другой сторо­ ны, согласно (4.13) и (4.14), наличие соотношений вза­ имности, очевидно, означает, что в линейной теории Он­ сагера f-мерное «абстрактное пространство» силовых

для таких «абстрактных пространств» действительно яв­ ляются потенциальными функциями.

Иногда вместо функций V и Ф, которые имеют раз­ мерность энтропии, удобнее пользоваться потенциалами