Файл: Дьярмати, И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 117

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

190 Глава V

ного исчисления б) при одновременной вариации сил и потоков локальные вариации производства энтропии мо­ жно записать в виде

f

f

 

6 a = '2 l Jl bXl +

'2l Xi t>Jt = l>xo + 6jo.

(5.33)

;=1

i=i

 

Так как соотношения

 

 

öx<y= &jo

(5.34а)

и

20Л-СТ = 2bjo

(5.346)

ба =

строго справедливы в пределах линейной теории, прин­ цип минимального производства энтропии можно выра­ зить в наиболее общем виде с помощью экстремума

^ = 1 а dV° = min,

(5.35)

V»

 

или экстремального условия

 

f

 

= J S Ui ÖX1+ ** 6/i) dV° < °>

(5-36)

г0 i=i

если соответствующие граничные условия не зависят от времени. Здесь равенство выполняется для стационар­ ного состояния, совместимого с граничными условиями. Выражения (5.33) — (5.36) являются наиболее общими формулировками принципа минимального производства энтропии.

Рассмотрим теперь универсальную форму принципа наименьшего рассеяния энергии (4.101) для стационар­ ного состояния. Этот принцип минимума при-одновре­ менной вариации по силам и потокам эквивалентен усло­ вию экстремума

f f

6^ = б у

2 LtkXtXk +

RikhJk

dV° =

V»

l,k=\

i, fc=l

 

f

 

f

 

 

S

LlkXuöXt+

%

RikJkbh

0, (5.37)

i, fc=(

i, k—l

 

 

Принцип минимального производства энтропии

19!

которое вместе с линейными кинематическими конститу­

тивными уравнениями

(4.2)

и (4.6)

приводит к условию

 

f

 

 

 

 

 

 

ö £ =

(j; ö X i

+

X, бJf) dV° <

0;

(5.38)

v°

( = 1

 

 

 

 

 

 

здесь равенство,

так

же как

и в

(5.36),

выполняется

в стационарном случае. И снова мы обнаружили, что принцип минимального производства энтропии не содер­ жит какой-либо новой и независимой идеи по сравнению с принципом наименьшего рассеяния энергии. Другими словами, принцип Пригожина есть не что иное, как фор­ мулировка на другом языке универсальной формы прин­ ципа Онсагера, справедливой для стационарного случая. В основе «словаря» лежат следующие взаимные соответ­ ствия между универсальным потенциалом рассеяния (4.100) и производством энтропии:

$ -<-> а,

(5.39)

которые основаны на эквивалентности описания необра­

тимых процессов наборами параметров

{J\,h.......//} и

{ Х и Х 2, . . . , Xf}. Следовательно, если при

описании ста­

ционарного состояния используется принцип минималь­ ного производства энтропии, то мы говорим на «языке» функции ЗР, Если же в основу положена функция то речь идет о формулировке принципа наименьшего рас­ сеяния энергии, справедливого для стационарного слу­ чая. «Словарь» для этих двух «языков» выражается в случае локальной формулировки соотношениями

ба-«^>б^, бл-а -*-> 6ЧС bja <—> 6Ф,

(5.40)

а в случае интегральной формулировки — соотношениями

Ъ Р ^ Ь 'З , bx3><~*bW, bjSP^+ЬФ.

(5.41)

§ 4. Применения

Покажем теперь на практических примерах, что ис­ следование стационарных состояний, которое мы про­ водили до сих пор с помощью принципа минимального производства энтропии, можно также осуществить

192

Глава V

при помощи соответствующей формы принципа Онсаге* ра. Будем исследовать только такие стационарные состояния диссипативных систем, для которых линейная теория применима в хорошем приближении, т. е. спра­ ведливы три основных постулата теории Онсагера.

а .

Т е п л о п р о в о д н о с т ь

в

т в е р д ы хРассмотриме л а х .

однокомпонентное изотропное твердое тело, тепловым расширением которого можно пренебречь, и предполо­ жим, что вдоль граничной поверхности поддерживается постоянное во времени распределение температуры. Для такого тела баланс внутренней энергии записывается в упрощенной форме, которая следует из (3.36):

Р "0Г = рс° 1 і Г = ~ Ѵ ' І Ч'

(5 -42)

где сѵ— удельная теплоемкость при постоянном объеме. Линейный закон Фурье (3.96) также можно записать в альтернативной форме

Jq= - I V T = LqqV (4-). Lqq= РХ.

(5.43)

Полный потенциал рассеяния системы, выраженный с по­ мощью этого закона, в энтропийном представлении бу­ дет иметь вид

ЧГ= j¥ ß f l/o =

J i ^ V y ) 2dF°;

(5.44)

у»

ѵ°

 

эта величина равна, конечно, половине полного производ­ ства энтропии

& =

о dV°

{Jq - X q)dV ^= L V —

dV°. (5.45)

V°

v°

T

 

V°

 

Теперь найдем распределение температуры, которое, со­ гласно стационарной форме (4.99) принципа наимень­ шего рассеяния энергии, соответствует минимуму Чг. Эта проблема сводится к вариационной задаче

№ = й J ^ -(v~ J d V ° = О,

(5.46)

Го

Принцип минимального производства энтропии

193

где вариацию по температуре 67 на границе нужно при­ нять равной нулю. Указанная вариационная задача при­ водит к уравнению Эйлера — Лагранжа

Д Ш = 0,

(5.47)

которое представляет собой уравнение Лапласа, опреде­ ляющее стационарное распределение температуры. Дей­ ствительно, используя линейный закон (5.43), можно за­ писать вместо (5.47)

У - / ,

= 0.

(5.48)

С учетом (5.48) получаем из

(5.42)

 

dt

(5.49)

 

т. е. непосредственно условие стационарного распределе­ ния температур.

Приведенный выше пример показывает, что стацио­ нарное распределение температуры однозначно задается минимумом потенциала рассеяния, определяемым вариа­ ционным условием (5.46). Конечно, то же самое верно и в отношении минимального производства энтропии (5.45), а также в отношении уравнения (5.47), которое следует из условия 653 = 0 (если пренебречь из эстети­ ческих соображений множителем 2). До сих пор в лите­ ратуре стационарное распределение температуры всегда определялось, исходя из принципа минимального произ­ водства энтропии [69, 3]. В действительности же при ис­ пользовании выражения (5.45) для производства энтро­ пии речь идет бесспорно (хотя и неявно) о непосред­ ственном применении потенциала рассеяния Ч*1, завися­ щего от сил.

Необходимо заметить, что вышеупомянутую проблему можно также рассматривать с помощью потенциала рас­

сеяния

 

 

 

W

J ^£-{ѴТ)ЧѴ°, W

T2W,

(5.50)

 

Ѵ>

 

 

который непосредственно содержит обыкновенный коэф­ фициент теплопроводности X (функцию Ч'1** можно

7 З а к . 787

194

Глава V

назвать потенциалом

рассеяния в представлении

Фурье). Из соответствующего вариационного уравнения

_ о получаем уравнение Лапласа

 

ЛГ = О,

(5.51)

непосредственно относящееся к температуре. Это уравне­ ние во всех отношениях эквивалентно уравнению (5.47).

Покажем теперь, что стационарное состояние, опреде­ ленное принципами минимума, стабильно относительно локального возмущения температуры. Дифференцируя (5.44) по времени, находим

" = . К « ѵ ( т ) ' ѵ ( і т ) ‘<1'";

<5-52>

г»

 

после преобразования с помощью (5.43) и интегрирова­ ния по частям (5.52) принимает вид

dt

(5.53)

Если температура вдоль границ системы фиксирована, то поверхностный интеграл в (5.53) обращается в нуль. Принимая это во внимание и используя уравнение ба­ ланса энергии (5.42), приходим к выводу, что

V°

так как каждая из величин р, Т, сѵ в подынтегральном выражении положительна. Этот результат означает, что по мере эволюции системы к стационарному состоянию потенциал рассеяния всегда уменьшается с течением вре­ мени до тех пор, пока система не достигнет стационар­ ного состояния, определяемого граничными условиями. Другими словами, стационарное состояние, которое ха­ рактеризуется минимумом Ч*1, стабильно.

Естественно, что физический

смысл неравенства

(5.54) можно перевести на «язык»

производства энтро-

Принцип минимального производства энтропии

195

пии. А именно, исходя из (5.45), можно непосредственно показать, что справедливо соотношение

d f_ _ 9 dV^ <г

(5.55)

dt ^ dt ^

с помощью которого доказывается правильность «сло­ варя» (5.41), а также справедливость теорем Приго­ жина— Глансдорфа (5.25а) и (5.24) [69, 8]. В этом про­ стом примере перекрестные эффекты не рассматривались и поэтому соотношения взаимности не использовались в доказательстве теорем.

б. С т а ц и о н а р н ы е с о с т о я н и я

т е р м о д и ф ф у з и о н н ы

г и р у ю щ

и х

с и с т еРассмотрим.

многокомпонентную

жидкую

систему

без внешних сил (Fu = 0), в которой

между К компонентами происходит R химических реак­ ций. Допустим, что система находится в состоянии меха­

нического равновесия,

определенном условием (2.118).

Из условия Fh = 0 и

из (2.118) получаем

следующую

форму уравнения движения:

 

 

\ р = 0,

(5.56)

откуда следует, что в системе отсутствует градиент дав­ ления. Чтобы точно определить стационарные состояния для чисто диссипативных процессов, связанных с нали­ чием теплопроводности, термодиффузии и химических реакций, но при отсутствии вязкости, нужно допустить, что скоростью центра масс ѵ можно пренебречь. Соглас­ но уравнению баланса масс (2.17), это предположение означает, что плотность континуума остается постоянной во времени.

Система, определенная указанными выше условиями, характеризуется, кроме (5.56), уравнением баланса для компонентов

=

( k = U 2 , . . . , K ) (5.57)

 

/=1

и уравнением баланса энергий

P ~ + V - J q = 0,

(5 .5 8 )

т

Смотрите также файлы