Файл: Дьярмати, И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы.pdf

Первый член связан с изменением сил, а второй — с из­ менением потоков, т. е.

2. Если справедливы основные постулаты линейной теории, то можно доказать, что изменения производства энтропии вследствие изменения сил равно изменению производства энтропии вследствие изменения потоков и каждое из этих изменений равно половине полного изме­ нения производства энтропии, т. е.

Эту теорему можно сразу же доказать. Действительно, в преобразованиях, приводящих к равенству

использовались только три основных постулата линейной теории. Необходимо подчеркнуть, однако, что в более об­ щем случае, когда хотя бы один из трех основных посту­ латов не выполняется, равенство (5.21) несправедливо. Тогда нельзя доказать и справедливость (5.20).

3. Если соотношение (5.17) записано в виде

то очевидно, что изменение производства энтропии во времени можно определить во всех случаях, когда изве­ стны дифференциальные уравнения, описывающие изме­

нения во времени потоков и сил. Сущность теоремы Глансдорфа и Пригожина заключается в том, что в случае чисто диссипативных процессов справедливо выражение

т. е. производство энтропии уменьшается во времени, если система приближается к стационарному состоянию, определяющемуся не зависящими от времени гранич­ ными условиями. Равенство выполняется в стационар­ ном случае, когда производство энтропии принимает минимальное значение, совместимое с не зависящими от времени граничными условиями.

Условие (5.23) по-разному выражает принцип мини­ мального производства энтропии для различных моделей систем, и его можно доказать с различной строгостью. Наиболее простое и полное доказательство условия (5.23) можно провести для не непрерывных систем, предполо­ жив справедливость основных постулатов линейной тео­ рии. Так как в этом случае выполняется соотношение (5.21), то с его помощью и используя (5.22) можно про­ демонстрировать справедливость неравенства

i=l

(возможно, независимо друг от друга). Доказательство соотношения (5.25а) для случая многокомпонентной не­ изотермической и не непрерывной системы принадлежит Оно [53], тогда как общее доказательство было дано де Гроотом и Мазуром [3]. Дьярмати и Олах [68] непо­ средственно применили дифференциальные уравнения,

справедливые для сил и потоков, и одновременно дока­ зали в общем виде (5.25а) и (5.256) для не непрерыв­ ных систем.

§ 2. Формулировка принципа для непрерывных систем

Излагая выше принцип минимального производства энтропии, мы пользовались общим аппаратом, который непосредственно можно применить лишь для не непре­ рывных систем. Однако легко дать формулировку этого принципа и для случая непрерывной системы, если ис­ пользовать для производства энтропии выражение

(5.26)

где / і и Хі обозначают локальные потоки и силы. Необ­ ходимо подчеркнуть, что интеграл в (5.26) следует брать по элементам объема dV°, выраженным через эйлеровы координаты, так как частную производную по времени от полного производства энтропии только в этом случае можно записать в виде

dV°) (5.27)

это выражение впервые было использовано Глансдорфом и Пригожиным [69, 3].

Если справедливы основные постулаты линейной тео­ рии, то справедливо также следующее соотношение для изменения локального производства энтропии:

аналогичное (5.21); с его помощью можно снова запи­ сать соотношение (5.24) для изменения во времени пол­ ного производства энтропии 53. Однако применение прин­

ципа для не непрерывных и непрерывных случаев разли­ чается в двух существенных отношениях.

Прежде всего для непрерывных систем с помощью дифференциальных уравнений, описывающих необрати­ мые процессы переноса (уравнения теплопроводности, диффузии и т. д.), можно непосредственно доказать лишь соотношение

связанное с изменением сил. Поэтому если рассматри­ вать более общий случай, когда несправедлив какойлибо из основных постулатов линейной теории (например, коэффициенты не постоянны, а являются функциями от параметров состояния) и, таким образом, соотношение (5.28) не выполняется, то ничего нельзя сказать о произ­ водстве энтропии, обусловленном изменением потоков, т. е. о величине

ще не гарантируется, поэтому стационарное состояние необязательно соответствует состоянию с некоторым ми­ нимальным производством энтропии. Однако (5.29) мож­ но доказать и в более общем случае, по крайней мере для чистых процессов рассеяния. Короче говоря, принцип минимального производства энтропии (5.24) строго спра­ ведлив только тогда, когда применима линейная теория, а соотношение (5.29) справедливо для всей термодина­ мики необратимых процессов, т. е. также и для более общих нелинейных случаев. Позже это будет доказано на примерах.

Далее, в случае непрерывных систем возникает дру­ гая трудность, связанная с особой структурой дифферен­ циальных уравнений, описывающих необратимые про­ цессы переноса. Именно, уравнения теплопроводности и диффузии являются такими дифференциальными уравне­ ниями в частных производных, с помощью которых

можно непосредственно характеризовать стационарные состояния, если локальные (частные) производные по времени равны нулю. С помощью этих уравнений можно доказать справедливость соотношения (5.29) для чисто диссипативных процессов. Если, однако, необходимо рассмотреть систему с вязким течением, учитывая при этом конвективное механическое движение, то возникают трудности особого рода. В этом, как и в предшествую­ щем случае, приводящем к нелинейным проблемам, прин­ цип минимального производства энтропии нельзя применять без дальнейшего рассмотрения. В связи с на­ званными трудностями Пригожин и Глансдорф недавно обобщили принцип минимального производства энтропии и нашли общий критерий эволюции систем в макроско­ пической физике с помощью так называемой теории ло­ кальных потенциалов [70—75].

§ 3. Связь между принципами Онсагера и Пригожина

Связь между принципом минимального производства энтропии и принципом наименьшего рассеяния энергии оставалась до недавнего времени совершенно не ясной. Это обстоятельство было обусловлено недостаточной раз­ работкой принципа Онсагера и его непригодностью для разрешения практических проблем, а также тем, что Пригожин пришел к открытию своего принципа совер­ шенно иным путем, нежели Онсагер. Как указывал Оно [53], на которого мы уже ссылались, существенная осо­ бенность принципа Онсагера заключается в варьирова­ нии по потокам, а принципа Пригожина — в одновремен­ ном варьировании по потокам и силам. Однако, зная представление принципа Онсагера через силы, можно предположить, что такое представление окажется клю­ чом при выяснении связи между двумя принципами. Сказанное тем более очевидно, что в выражении (5.3), которое привело к открытию принципа минимального производства энтропии и легло в основу его первой фор­ мулировки, применяется представление производства эн­ тропии через силы. Этот факт с очевидностью доказы­ вает необходимость представления через силы для вы­ яснения взаимосвязи принципов; кроме того, сравнение

практической применимости представления через силы (5.29) с (5.30) также показывает, что силовое представ­ ление вообще более плодотворно, чем представление че­ рез потоки.

Опираясь на самые новые исследования Дьярмати (см. [56] и особенно [60]), покажем, что принцип мини­ мального производства энтропии не является независи­ мым принципом неравновесной термодинамики, а скорее только альтернативной формулировкой принципа Онсагера, справедливого в стационарном случае.

Рассмотрим принцип наименьшего рассеяния энергии, справедливый для стационарного состояния, в представ­ лении через силы (4.99). Из следующего выражения для потенциала рассеяния

г, fe—1

(отнесенного для простоты к не непрерывным системам), а также из принципа (4.99) при использовании дополни­ тельного условия (5.2) следует, что в стационарном слу­ чае соотношение

f

і — 1

справедливо для всех потоков, сопряженных с силами, которые не были искусственно фиксированы. Это выра­ жение во всех отношениях эквивалентно соотношению (5.5), записанному через производство энтропии, и даже имеет более изящный вид, так как в нем отсутствует ненужный множитель 2. Наш результат основывается лишь на представлении через силы (4.99) и настолько тривиален, что нет необходимости повторять теоремы, уже сформулированные при помощи производства эн­ тропии.

Обратимся теперь к теоремам 1—3, полученным Глансдорфом и Пригожиным, и выясним, как можно сформу­ лировать их при помощи представлений (4.98), (4.99) и (4.101) принципа наименьшего рассеяния энергии, спра­ ведливых для стационарного случая. В соответствии с духом теории поля (и пользуясь символом вариациан-