Файл: Дьярмати, И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 113
Скачиваний: 0
196 |
Глава V |
которые вытекают из (2.46) и (3.36), а также производ ством энтропии
|
R |
К - |
1 |
К - |
1 |
|
|
а |
2 ' - 2 |
H/S: |
ѵт |
г |
-J- / |
• V |
|
|
vkj~f |
/.J |
fk |
J q |
T \ j |
||
|
/=1 |
h=l |
k=\ |
|
|
||
(5.59)
Последнее выражение получается из (3.87), если прене бречь членами, относящимися к вязкости.
Конкретные формы линейных кинематических кон ститутивных уравнений получаются из (3.90), (3.92) и (3.93) с помощью подобной же детализации:
r=1 fc=l |
(/ = 1, |
2, |
..., R), |
(5.60) |
|
|
|
|
|
n \ |
K ~ l |
|
j1, |
(5.61) |
= LqqV (t ) ~ |
l |
7" |
||
|
fc=l |
|
|
|
Ji = Liq4 [ у ] — |
O |
v |
* ) |
(5.62) |
|
fe=i |
|
|
|
(/ = 1 , 2, |
... , K - -D- |
|
|
|
В соотношении (5.60) учтено, что для значений сродства (3.70) справедливо условие (2.38) и, кроме того, исполь зовано выражение
А г = - % vkr ( H ^ -) ( / - = 1 , 2 , . . . , / ? ) . (5.63)
к=І
Соотношения взаимности имеют вид
Lir == Lr} |
(j, |
г = |
1 , 2 , . . . , R), |
|
||
LQk = Lkq |
{ k = \ , |
2, |
... , |
f f - 1 ) , |
( 5.64) |
|
Lik = Lki |
( i, |
k — I, |
2, . . . , |
К — |
1). |
|
Принцип минимального производства энтропии |
197 |
Прежде чем идти дальше, для упрощения обозначений и для облегчения перехода к более общему случаю (что будет сделано ниже) введем систему новых переменных
Г ^ у , |
r fe S - |
( * = 1 , 2, . . . . K - l ) . (5.65) |
Используя их в линейных кинематических уравнениях, о которых мы говорили выше, а также учитывая соотно шения взаимности, получаем выражение для полного производства энтропии в системе
|
|
( |
к - |
1 |
|
<? = |
2V = J |
(ѴГ„)2 + |
2 2 |
Lqkn \ ■ѴГ* + |
|
|
у» |
( |
*=1 |
1 |
|
+ |
К-1 |
R |
|
К-1 |
|
£ Lik^Vi • ѴГ* + 2 |
L lr |
2 З Д гГгГ* |
(5.66) |
||
і, fc=I |
/, г=| |
|
(, ft=i |
|
|
оно равно удвоенному значению потенциала рассеяния. Записывая условие стационарности с помощью послед него выражения, приходим к вариационной задаче
6 ^ = 0. |
(5.67) |
Варьируя затем по параметрам Г, и Г^, получаем урав нения Эйлера — Лагранжа для нашей задачи (k =
= 1,2,. . . , / ( - 1 )
|
|
|
дЧ |
-sа |
дЧ |
=0, |
(5.68а) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
дТ„ |
=1 дха |
дТп |
|||
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
|
|
|
дха |
|
|
|
дЧ |
|
дЧ |
|
|
|
|
||
V |
5 |
= 0 (**=1, 2, . |
К — \), |
(5.686) |
||||
дТ, |
|
|||||||
Ң |
< 4 |
|
|
|
|
|
||
|
а—1 |
|
* ( ё ) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
которые при использовании соотношений взаимности (5.64) и условия постоянства коэффициентов приводят
1 9 8 |
|
Г лава |
V |
|
к системе уравнений |
|
|
|
|
|
LqqАГ? + |
Lqk Affe = 0 |
(5.69а) |
|
|
|
k~\ |
|
|
И |
|
|
|
|
АГ, + |
ДГ* - |
і |
\ft=l |
= 0 (5.696) |
|
ft=l |
/, r=l |
/ |
|
|
( / = 1 , |
2, .... / ( - 1 ) . |
|
|
При помощи линейных кинематических конститутивных уравнений (5.60) — (5.62) уравнения (5.69а) и (5.696)
можно записать в виде
|
|
? • / , = О, |
|
|
(5.70а) |
Ѵ - / г - |
І ѵ г// у. = 0 |
(/==1, 2 , . . . , |
/С - |
1). |
(5.706) |
Из этих |
уравнений, |
найденных из принципа |
минимума |
||
с использованием уравнений баланса |
(5.57) |
и |
(5.58), по |
||
лучаем условия стационарности, записанные в явном виде для энергии и распределения концентраций
f = |
0 |
(5.71а) |
И |
|
|
-^ - = 0 (/ = 1, |
2, ... , К - 1). |
(5.716) |
Мы опять видим, что в тех случаях, когда справедлива линейная теория Онсагера, стационарные состояния си стемы определяются принципом наименьшего рассеяния энергии, а также принципом минимального производства энтропии.
Рассмотрим стабильность описанных выше стацио нарных состояний. Дифференцируя функцию рассеяния 4я по времени и используя линейные конститутивные уравнения (5.60) —(5.62) и соотношения взаимности
Принцип Минимального производства энтропии |
199 |
(5.64), приходим к выражению
d'V
dt
V"
(5.72)
которое после интегрирования по частям можно запи сать в виде
|
|
|
dt |
dV°. |
|
Ѵ‘ |
|
|
|
|
|
|
(5.73) |
|
|
|
|
|
|
Так |
как значения параметров Гд и |
(k = 1,2, ... |
||
. . . , / ( — 1), т. е. температуры |
Т и химических потенциа |
|||
лов |
(Хй (k — 1, 2 , . . . , / ( — 1), |
поддерживаются постоян |
||
ными на границах, поверхностный интеграл в (5.73) об ращается в нуль, и мы имеем
d'V |
V / |
|
JL _L |
|
|
dt |
|
Ч dt |
T |
|
|
V1 |
|
|
|
|
|
К - I I |
|
|
|
|
|
S |
( V • h |
- |
S v k lJ , - I f |
d V ° ’ (5-74) |
|
k=\ |
\ |
|
|
/=1 |
|
где использованы тождества (5.65). Вводя удельную эн тальпию
h — и + рѵ,
из (5.58) получаем следующее уравнение баланса энер гии:
p | f + v - / 9 = °« |
(5 .7 5 ) |