Файл: Дьярмати, И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы.pdf

Вывод уравнения в трех различных представлениях основывается на том, что плотность теплового потока обычно можно задавать тремя различными коэффициен­ тами и силами. Действительно,

Конечно, производство энтропии, связанное с теплопро­ водностью, также можно представить в трех формах, т. е.

кроме того, можно определить три альтернативных локальных потенциала рассеяния

В данных выражениях слева направо величины даются соответственно в представлении Фурье {% и величины, отмеченные двумя звездочками), в энергетическом пред­ ставлении (величины, отмеченные одной звездочкой) и в энтропийном представлении (величины, не отмеченные звездочкой). Сначала выведем уравнение теплопровод­ ности твердого тела в представлении Фурье. Мы увидим, что в этом представлении непосредственно получается первоначальная форма уравнения, но вместе с тем убе­ димся, что с теоретической точки зрения это представле­ ние не совсем удачно.

а. Представление Фурье. В случае простой тепло­ проводности нужно исходить из частного вида общего

208 Г лава VI

С другой стороны, формулировка вариационного прин­ ципа (6.1) в форме Фурье означает, что условие вариа­ ции должно быть непосредственно выражено через по­ тенциал рассеяния xFg**, т. е. нужно рассматривать сле­ дующее условие вариации:

Нет необходимости подчеркивать, что такую форму ва­ риационного принципа нельзя считать самой удачной, по крайней мере с эстетической точки зрения, поскольку здесь локальное выражение умножено на Г2. Однако от­ ветствен за это сам Фурье, который считал термической силой — как это следует из первого выражения (6.2) — отрицательный градиент температуры.

Принимая во внимание, что для случая твердого тела справедливо соотношение

S — — (6.10)

где сѵ— удельная теплоемкость при постоянном объеме, на основании (3.58) с помощью выражений (6.6) и (6.10) из условия вариации (6.9) получаем принцип экстре­ мума

где интеграл рассматривается как функция только тем­ пературы. Следовательно, в (6.11) мы должны варьиро­ вать только по внутренней переменной силы Х*ч"= — ѴТ, т. е. только по температуре при постоянном потоке. Од­

нако из уравнения баланса внутренней энергии

которое получается в нашем частном случае из (3.37), очевидно, что из постоянства потока бJq — 0 следует также постоянство р (ди/ді) [или pcv(dT/dt)]. Таким об­ разом, варьируя (6.11) по температуре при фиксирован­ ном Jq и pcv(dT/dt), приходим к выражению

(6.11). Это соотношение можно упростить, используя первую форму линейных законов (6.2); в итоге приходим к условию

Так как локальная вариация бТ произвольна, принцип максимума (6.11) равноценен уравнению Фурье

Следует подчеркнуть, что в нашем выводе не использова­ лось постоянство коэффициента теплопроводности, зна­ чит, А может зависеть от пространственных координат.

До сих пор наше внимание было сосредоточено на не­ посредственном выводе дифференциального уравнения Фурье. Теперь с помощью варьирования вдоль гранич­ ной поверхности системы определим функцию Лагранжа, относящуюся к вариационному принципу. Для этого преобразуем второй член в условии экстремума (6.14) следующим образом:

- 6 7 Т • (W T )= — V • (бГАТТ) + ЯѴГѴбГ. (6.16)

Применяя к члену, содержащему дивергенцию, теорему Гаусса, т. е.

V й (6.19)

Если принять, что температура вдоль граничной поверх­ ности не варьируется, то необходимое условие макси­ мума (6.11) будет уже определяться объемным интегра­ лом (6.19):

Из этой формы необходимого условия вариационной задачи уже видно, что плотность лагранжиана вариаци­ онной задачи, относящейся к теплопроводности, имеет вид

3?т= & т{Т,ѴТ) = рсѵТ-%г + ±(Ѵіу>. (6.21)

Здесь параметр, по которому варьируем, обозначен ин­ дексом. Следует подчеркнуть, что 3?т зависит от pcv(dT/dt) как от постоянной величины, т. е. производная по времени dT/dt не является, согласно уравнению ба­ ланса энергии (6.12), новой независимой переменной для 3?т- С этой плотностью лагранжиана вариационная за­ дача

приводит к уравнению Эйлера — Лагранжа

которое совпадает с уравнением Фурье (6.15). Отметим, что приведенный выше вывод уравнения Фурье дает по существу достаточную основу для формулировки инте­ грального принципа термодинамики в общем виде [55, 56]. Однако прежде чем переходить к этой формулиров­ ке, выведем уравнение теплопроводности в энергетиче­ ском и энтропийном представлениях [58], а также в обоб­ щенном «Г»-представлении [85].

б. Энергетическое представление. В энергетическом представлении будем исходить из среднего выражения (6.5) для производства энтропии. Используя это выра­ жение и потенциал рассеяния Ч;*?, определенный соотно­ шением (6.6), можно записать условие вариации (6.1) следующим образом:

Рассмотрим второе равенство в правой части, которое применялось, в частности, Верхашем [65, 79] и которое при использовании средних выражений в (6.2) и (6.6) приводит к принципу экстремума

Jq - Ѵ1п7’ + -|?-(Ѵ1п Ту dV — max. (6.25)

Эту форму принципа можно переписать, используя тож­ дество

где объемный интеграл от дивергенции Ѵ-(/д1пГ) был преобразован с помощью теоремы Гаусса в поверхност­ ный интеграл. Будем считать условие максимума (6.27) таким же вариационным условием, как и раньше в

представлении Фурье. Оговорим заранее, что мы будем варьировать только по температуре (точнее, по In Г), фиксируя рсѵ(дТ/ді) и / 9; кроме того, условимся, что температура вдоль граничной поверхности не варьи­ руется. Тогда максимум (6.27) определяется объемным интегралом, т. е.

p c j n ^ + ^ f (ѴІпГ)2 d V - max. (6.28)

Так как в (6.27) поток тепла входит только в поверхност­ ный интеграл, то можно сказать, что принцип экстре­ мума (6.27) справедлив при условии, что величина pcv(dT/dt) фиксирована и вдоль граничной поверхности ничего не варьируется. Из (6.28) получаем следующее выражение для плотности лагранжиана вариационной проблемы:

Используя эту плотность лагранжиана, запишем инте­ гральный принцип в компактном виде

которое, используя средние выражения в (6.3) и (6.4), можно привести к известному виду уравнения Фурье (6.15). Заметим, что L*qq может быть функцией коорди­ нат и что проведенный вывод совершенно не изменится,