Файл: Дьярмати, И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы.pdf

мике необратимых процессов. Теперь, обобщая все выше­ изложенное, мы приведем вывод уравнения Фурье в уни­ версальном «ГѴпредставлении, которое включает в себя как частные случаи результаты, полученные по отдель­ ности в энтропийном, энергетическом представлениях и в представлении Фурье (Фархаш [85]).

Рассмотрим произвольную функцию абсолютной тем­ пературы Г = /(Г) в интервале

О< Т < оо,

производная которой по температуре удовлетворяет условию

в полностью открытом интервале (0, оо). Теперь введем универсальное «Г»-представление, в котором термиче­ ская сила имеет вид

Феноменологический коэффициент Lr, который является постоянным в «^-представлении, определяется линей­ ным законом Фурье

так как тепловой поток Jq должен иметь один и тот же вид во всех представлениях. Отсюда следует, что для обобщенного коэффициента теплопроводности справед­ ливо соотношение

соответствующие локальному производству энтропии и потенциалу рассеяния в «^»-представлении, в общем случае, конечно, не имеют размерности производства энтропии.

Будем исходить из выражения для наименьшего рас­ сеяния энергии, записанного через приведенные выше величины:

Используя тождество

/,-ѴГ = Ѵ-(/,Г) — І'Ѵ-У,

и теорему Гаусса

j V • (7,r)dV = <£(/,Г) • dÜ,

выражение (6.46) можно представить в следующем виде:

где мы учли дополнительное условие вариации, согласно которому плотности потока не варьируются. В соответ­ ствии с уравнением энергетического баланса (6.12) это выражение эквивалентно условию

т. е. при варьировании величина pcv(dT/dt) считается по­ стоянной. Конечно, 6 L r = 0 , т. е. коэффициент L r по­ стоянен и, кроме того, функция Г также фиксирована вдоль граничной поверхности. Постоянство Lг соответ­ ствует одной из предпосылок линейной теории Онсагера, которая оперирует с постоянными феноменологическими коэффициентами, а условие, что 6Г = 0 на граничной поверхности, эквивалентно, согласно (6.40), условию 6Г = 0 на границах. При использовании этих условий и

уравнения баланса (6.12) формула (6.47) приводит к ва­ риационной задаче

уравнением Эйлера—Лагранжа для которой является дифференциальное уравнение

Оно описывает теплопроводность в твердых телах в уни­ версальном виде. Поэтому при Г = \/Т уравнение (6.49) включает в себя энтропийное представление (6.36), при Г = —- ln Т — энергетическое представление (6.32) и, на­ конец, при Г = — Т — уравнение Фурье в традиционной форме (6.15). Еще раз подчеркиваем, что локальные ве­ личины а г и Ч;г, определяемые соотношениями (6.44) и (6.45), имеют размерность производства энтропии толь­ ко при Г = 1/Т и Lp 2= Lqq, т. е. в энтропийном представ­ лении. Это очевидно из выражений (6.5) и (6.6), лежа­ щих в основе подробно рассмотренных нами трех пред­ ставлений.

Метод описания, применяемый в универсальном «Г»- представлении, очень важен. Действительно, он не только содержит в сжатой форме основные результаты различ­ ных представлений, что открывает возможность единого теоретического описания, но и представляет интерес в практическом отношении. Например, при некоторых до­ пущениях, зависящих от самой задачи, он позволяет про­ стейшим способом исследовать проблемы теплопровод­ ности, которые могут описываться только нелинейным уравнением

Р ^ ^ = Ѵ-[Л(7’)ѴП

так как коэффициент теплопроводности к’ = К(Т) зави­ сит от температуры. Если нам удастся установить зави­ симость Х(Т) (например, экспериментально в конкрет­ ных случаях), то мы можем построить такое «Г»-пред- ставление, в котором коэффициент Lr , согласно (6.43), постоянен. В этом случае нелинейная вариационная

задача в универсальном «Г»-представлении сводится к линейной вариационной проблеме.

Естественно, что нелинейные вариационные задачи, справедливые в том случае, когда X зависит от темпера­ туры, и приводящие к нелинейной форме уравнений пе­ реноса, подобной последнему уравнению, представляют собой тип задач, значительно отличающихся от тех, воз­ можная теория которых упоминалась в гл. V, § 5. Это достаточно очевидно, поскольку нелинейные конститутив­ ные уравнения (5.82) определяют нелинейные соотноше­ ния между потоками и силами. Если же назвать это не­ линейностью в точном смысле слова, то необходимо ска­ зать, что при исследовании проблемы в универсальном «["»-представлении можно исключить только нелинейно­ сти типа X = Х(Т) (или другие подобные), т. е. нелиней­ ности более слабые. Конечно, введение универсального «["»-представления возможно не только для теплопровод­ ности, но (при выполнении соответствующих условий) и для других проблем переноса. Вот почему «["»-представ­ ление, разработанное Фархашем [85], очень полезно в практическом отношении.

§2 . Формулировка интегрального принципа

Впредыдущем параграфе, исходя из интегральной формы принципа наименьшего рассеяния энергии (6.1), заданного в представлении через силы для частного слу­ чая теплопроводности, мы сформулировали новый инте­ гральный принцип. Этот принцип выражен в различных

представлениях вариационными условиями (6.22), (6.30), (6.38) и (6.47). Рассмотрим подробную запись (6.37) плотности лагранжиана, относящуюся к интегральному принципу, сформулированному в энтропийном представ­ лении (6.38). Используя последние выражения в (6.6) и (6.10), ее можно записать в компактной форме

Сравнивая это выражение с исходным (6.33), мы видим, что плотность лагранжиана совпадает с подынтеграль­ ным выражением в объемном интеграле в (6.33). В (6.33)