Файл: Дьярмати, И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 105

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Интегральный принцип термодинамики

219

поверхностный интеграл влияет только на граничные условия (его обращение в нуль означает, что Js или Jq и Т фиксированы вдоль граничной поверхности во время б-процесса). Следовательно, граничные условия в выра­ жении (6.50) для плотности лагранжиана уже учтены. То же самое, очевидно, справедливо и для интеграль­ ного принципа, записанного в форме (6.38).

Теперь обобщим наши результаты, учитывая усло­ вия, заданные для случая теплопроводности, и таким образом сформулируем интегральный принцип термоди­ намики. Величину s всегда можно задать соотношением (3.25), которое следует из соотношения Гиббса для си­ стем, находящихся в состоянии целлулярного равнове­ сия; потенциал рассеяния Ч7 также можно считать из­ вестным. Отсюда с очевидностью следует, что в энтро­

пийном представлении функцию

 

2 = ps — W,

(6.51а)

или в более общем случае функцию

 

2 ’ = а — Чг,

(6.516)

можно рассматривать как термодинамическую плотность лагранжиана. Другими словами, это означает, что тер­ модинамическая плотность лагранжиана равна разности между «кинетической» частью ps, содержащей произ­ водную по времени, и «потенциальной» частью, которая определяется потенциалом рассеяния ЧГ

Обозначим через Гг интенсивные параметры, которые входят в энтропийное представление (3.25) и градиента­ ми которых являются соответствующие силы Хі. Тогда в случае f независимых скалярных параметров Г, для интегральной функции Лагранжа L, зависящей от этих параметров, справедлив интегральный принцип

L =

J

9? dV = шах.

(6.52)

 

к

 

 

Ему соответствует вариационное условие

 

6Ц Г„ Г2,

... ,

Tf] = 6 j' S d V = О,

(6,53)

V

2 2 0

Глава Vf

 

которому отвечают уравнения Эйлера — Лагранжа

д2

3

 

 

- 1 - дха д(дГі/дха)

(»•= 1, 2, .... f).

(6.54)

<ЗГ;

 

а=1

 

 

В

вариационной задаче

(6.53) варьирование

должно

проводиться исключительно по параметрам Гг, градиен­ ты которых определяют силы. Такой способ варьирова­ ния становится понятным, если принять во внимание, что интегральный принцип, записанный в форме (6.52) или (6.53), тесно связан с силовым представлением принципа наименьшего рассеяния энергии, так как он относится к тем параметрам, градиентами которых яв­ ляются силы. При формулировке принципа наименьшего рассеяния энергии в представлении через силы [см. (4.21) —(4.25)] варьирование проводилось только по си­ лам при постоянных потоках. Уравнения баланса пока­ зывают, что входящие в них (а также в s) производные параметров по времени определяются потоками [см., на­ пример, (6.12)]. Таким образом, условия, согласно кото­ рым производные по времени не изменяются, по суще­ ству являются следствием постоянства потоков. Послед­ нее вариационное условие, однако, не является новым и независимым, потому что оно следует из принципа Онсагера, сформулированного в представлении через силы.

Прежде чем анализировать дальше теоретические во­ просы, докажем на примерах, что принцип, сформули­ рованный в основном с помощью соотношений (6.51) — (6.54), действительно является подлинным и точным ин­ тегральным принципом термодинамики. Он эквивален­ тен полной системе уравнений переноса, описывающих течение необратимых процессов во времени и простран­ стве.

§ 3. Вывод уравнений Фика для изотермической диффузии

Рассмотрим континуум из К компонентов в отсут­ ствие внешних сил. Пусть температура и давление одно­ родны, а градиенты химических потенциалов не обра­ щаются в нуль. Если на какое-то время пренебречь хи-

Интегральный принцип термодинамики

221

мическими реакциями, то в системе, в которой выпол­ няются указанные выше условия, происходят только процессы диффузии, приводящие к локальному рассея­

нию энергии

к- 1

Tad — 2 Jk • XI,

(6.55)

k=l

 

где

х ; ^ - ѵ ( ^ - ц к) (/1=1, 2, ... , к - 1) (6.56)

— силы диффузии. Приведенные выше выражения, вы­ текающие из общего выражения (3.87), даны в энерге­ тическом представлении, которое удобно для решения изотермических проблем. Целесообразно ввести незави­ симые параметры

=

(6 = 1 , 2, ... , К - 1), (6.57)

при использовании которых потенциал рассеяния в энер­ гетическом представлении с учетом (4.15а) принимает вид

к - 1

к - I

S

L * i k X \ - X l = \ V L h V n - V n . (6.58)

i, k = l

i, k =l

Теперь, следуя Верхашу [65, 79], запишем правую часть выражения (6.1) для принципа наименьшего рас­ сеяния энергии в энергетическом представлении, т. е. будем исходить из следующего вариационного условия:

6 J [ T o d - 4 r * 0,d ] d V

= (6.59)

V

 

которое в силу (6.55) и (6.58) связано с принципом экстремума

к- 1

к-і

1

dV — max. (6.60)

Lft= l

i, k=\

(Заметим, что, изменив знак, можно записать также и принцип минимума [65, 79], однако в интересах единства изложения сохраняется формулировка с максимумом,

2 22 Глава VI

которая использовалась до сих пор.)

Применяя

извест­

ное из векторного анализа тождество

 

 

 

Ѵ -(/*П) = ПѴ-/* + /*-ѴП

( k = \ ,

2,

K - D

(6.61)

и преобразуя

дивергенцию j

V ■(/*Г*) dV

при помощи

 

 

V

 

 

получаем

теоремы Гаусса в поверхностный интеграл,

 

'К- 1

к- 1

 

 

 

 

- j

V ПѴ./* + і £ L b v n - v n dV +

 

V с ft=i

i, k=i

 

 

 

 

 

 

+

J TUI ■dQ e= max.

(6.62)

Воспользуемся теперь уравнениями баланса компонен­

тов

V - /fe = 0

( £ = 1, 2,

.. .. К),

(6.63)

pc* +

справедливыми

для нашего

случая,

и потребуем

(как

мы это делали в случае теплопроводности), чтобы по­ токи /й, а также величины pèft [в силу (6.63)] были фик­ сированы при варьировании по параметрам Г£, т. е. чтобы выполнялись условия б/ft = 0 и Ö(pCft)= 0; кроме того, примем, что вдоль граничной поверхности системы варьирование не производится. При этих условиях экс­ тремальная задача (6.62) уже полностью определяется объемным интегралом

к-1

к- 1

ѴП d V : : шах. (6.64)

[ 2

S

L f t=l

І, k=\

 

Здесь подынтегральное выражение есть не что иное, как плотность лагранжиана (в энергетическом представле­ нии) для диффузионной задачи

к-і

к-

1

 

і?Ь = р £ r kck - ~

J ]

LlftVnѴП,

(6.65)

k=\

І, k=\

 

где параметр, по которому производится варьирование, указан в индексе. Используя плотность лагранжиана

Интегральный принцип термодинамики

2 2 3

(6.65), получаем из уравнений Эйлера — Лагранжа (6.54) дифференциальные уравнения

Pck -

S V

• [L\kV (ц{ -

цк)] = 0

(6.66)

(

k

= 2,l ,

К

-1),

 

где мы в соответствии с (6.57)

заменили параметры Г*%

химическими потенциалами. Уравнения (6.65) фактиче­ ски идентичны уравнениям Фика для многокомпонент­ ных изотермических систем.

Это легко показать. Действительно, функции

Ий= М Р і» Р2>•••> Рк-\) (6 = 1, 2, . .., К — 1) (6.67)

в изотермическом и изобарическом случаях удовлетво­ ряют тождествам

к- i д(

_

.

У ( ц , . - ^ ) = Ѵ

^

- І х^ Ѵру ( / = 1 , к 2, ...1)- ., (6.68)

/=1

1

 

.С помощью этих тождеств и используя следующие вы­

ражения для коэффициентов диффузии:

 

D h = %

~

( * . / = ! »

2............К - 1 ) ,

(6.69)

<=і

1

 

 

 

получаем из (6.66) дифференциальные уравнения

 

p c ^ s V

^ V p , )

( k = U

2, ... , К - 1).

(6.70)

Если наша диффузионная система удовлетворяет усло­ вию, согласно которому плотность р постоянна и не за­ висит от времени, то из уравнения баланса масс (2.17) следует, что дивергенция скорости движения центра масс обращается в нуль, \-ѵ = 0. С другой стороны, если граничные условия для диффузионной системы та­

ковы, что

нормальная компонента скорости

ѵ равна

нулю на границе системы, то скорость ѵ равна

нулю по

всей системе. Этот так называемый «бесконвекционный» случай кажется весьма специальным с теоретической точки зрения, однако он очень часто встречается на

2 2 4

Глава VI

практике. Вместо (6.70) (принимая во внимание пре­ образование коэффициентов диффузии) можно записать уравнения

- i f = Е Ѵ ' (d ;,Vc/)

2........./С-1),

(6.71)

/=I

 

 

которые представляют собой известную полную систему диффузионных уравнений Фика [3].

Для дальнейших рассуждений несколько преобра­ зуем плотность лагранжиана (6.65). Записывая в нашем изотермическом и изобарическом случаях уравнение

Гиббса — Дюгема (3.28а)

в виде

 

 

 

 

 

 

к - I

 

/

 

к - 1

\

 

 

 

 

 

2

ck diik +

1 -

2

ck)diiK = 0

 

(6.72)

 

ft=i

 

\

 

ft=i

/

 

 

 

 

и затем с помощью (6.57)

переходя

к параметрам П,

получаем уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к-

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

ck dY\ =

 

 

 

 

(6.73)

где обе

части

являются

полными

дифференциалами.

Воспользуемся соотношением

 

 

 

 

 

 

К - 1

(Зс

 

( Ä = l , 2,

.. ..

К -

1) (6.74)

 

/=і

(ЭГ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

которое

вытекает

из

выражения

для

функции

ck ~ ck(y\> П> •••> rj_,),

а также соотношениями сим­

метрии для смешанных вторых производных

 

 

 

д*к

дсі

 

dck

 

д*»к

 

 

(6.75)

§ik — <эг; дгі

дТІ

 

дг:

 

 

 

Ski

 

 

 

 

 

 

 

(i, k = l ,

2,

... ,

ТС-

1).

 

 

 

С помощью (6.74) и (6.75) запишем плотность лагран­ жиана (6.65) в общем виде

К-1

К-1

S4 .-P £

£ Ч,ѵг; •ѵг;. <в.7в)

і, k=\

i, k=l

Смотрите также файлы