Файл: Дьярмати, И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 106
Скачиваний: 0
Интегральный принцип термодинамики |
22 5 |
Из определения параметров П (6.57) и из правила варьирования, которое мы использовали, следует, что эта плотность лагранжиана зависит только от химиче ских потенциалов и их градиентов, т. е. не содержит производных по времени от Г* в качестве независимых переменных. С помощью плотности лагранжиана (6.76) получаются уравнения Эйлера — Лагранжа
p 2 , gifcr; + |
s ' v . ( L ; Ävr;) = o ( / - 1, 2 ,..., * - і ) , (6.77) |
k = I |
fe= 1 |
которые являются общими уравнениями для многоком понентной диффузии. Эти уравнения очень просто за писать с помощью плотностей или произвольных кон центраций (например, мольных долей).
Все сказанное выше можно обобщить, если еще учесть существование химических реакций между ком понентами. Для этого необходимо лишь определить в энергетическом представлении соответствующий потен циал рассеяния. Он аналогичен последним двум членам в подынтегральном выражении (5.66). Таким образом, потенциал рассеяния имеет вид
/ С -1 |
R |
/С -1 |
|
|
ѵ г : |
ѵ ѵ г ; г ; . |
(6.78) |
і , k = \ |
I. r—I |
1, fc=! |
|
С его помощью, |
используя (6.51) и (6.76), получаем для |
||
плотности лагранжиана |
|
|
|
г-г— р 2 |
2 Ѵ Щ ѵ г ; - |
|
|
і , ft=l |
i, k = l |
|
|
|
-4 2 L i r 2 |
(6-79) |
|
|
j, r= l |
i, k = l |
|
Производя дифференцирование, указанное в (6.54),при ходим к уравнениям Эйлера — Лагранжа
/С-1 |
2 |
V •(/.;,№ •) = |
|
||
р S г „ г ; - |
|
||||
k=1 |
f t = l |
|
' |
|
|
|
R |
|
/ / C |
- l |
(6.80) |
|
= 2 |
|
L)r[ 2 |
vkr |
|
|
j , r—1 |
, r \ k = |
l Rr |
|
|
8 Зак. 787
226 |
Г лава VI |
Эти уравнения описывают эволюцию в пространстве и времени многокомпонентных изотермических диффу зионных и реагирующих систем, т. е. характеризуют пе ренос компонентов, обусловленный диффузией, а также происходящие в системе химические реакции.
Заметим, что из уравнения (6.80) можно получить стационарные уравнения, представляющие собой част ный случай уравнения (5.696). Хотя в гл. V использова лось энтропийное представление, а здесь— энергети ческое, различие между ними (если и в гл. V ограничиться изотермическим случаем) несущественно. Действительно, параметры Г/4 и П, определяемые соот ветственно соотношениями (5.65) и (6.57), отличаются только постоянным множителем Т. Поэтому плотности лагранжиана в соответствующем энтропийном представ лении отличаются от выведенного раньше множителем Г-1, т. е. справедливо соотношение
2 г = Т~'2т*. |
(6.81) |
§4. Вывод общего уравнения движения гидродинамики
Вкачестве подтверждения интегрального принципа выведем теперь общее уравнение движения вязкого по тока. Особенность этого примера состоит в том, что при вязком течении термодинамическая сила определяется градиентом скорости \ѵ , следовательно, варьирование должно проводиться по величине ѵа (а = 1, 2, 3), кото рая, согласно Казимиру, является типичным «ß»-napa- метром.
Общеизвестное уравнение Навье — Стокса для вяз кого течения было впервые выведено из интегрального принципа Верхашем [65, 79]. Выводом обобщенной фор мы уравнения Навье — Стокса мы обязаны Бэрэцзу [80], который, принимая во внимание асимметрическую часть тензора гидродинамического давления, получил более
общую форму уравнения Навье — Стокса, включающую и член, описывающий вращательную вязкость. Ниже, исходя из интегрального принципа термодинамики, вы водится наиболее общая форма гидродинамического уравнения движения. Сначала, однако, мы приведем
Интегральный принцип термодинамики |
227 |
основные уравнения, которые нужны для того, чтобы задать вариационные условия с помощью конкретных форм Т о ѵ и 'PS д л я в я з к о г о течения.
Поскольку мы рассматриваем изотермический слу чай, можно использовать энергетическую картину для представления принципа наименьшего рассеяния энер гии через силы. В случае изотермического вязкого тече ния получаем для рассеяния энергии из (3.68) выраже ние
Таѵ = - р ѵѴ • v - P vs: (Vü)s- P va ■(V X ѵ - 2 а ) > 0; (6.82)
при этом для сил использовались выражения (3.64) — (3.66). Это выражение можно несколько преобразовать, так как скалярное произведение аксиальных векторов рѵа и V X ^ в последнем члене также можно записать как скалярное произведение соответствующих антисимметрических тензоров, т. е.
- Рѵа ■(ѴХ») = Pva ■(Ѵо)й = - Рѵа : (Ѵѵ)а, (6.83)
где Рѵа= — Рѵа — антисимметрическая часть транспони
рованного тензора вязкого давления Рѵ. При помощи соотношений (6.83) и (2.103) выражение для рассеяния энергии можно также записать в следующем сжатом виде:
Таѵ= - Р* : Ѵѵ + 2ю • Рѵа > 0. |
(6.84) |
В (6.82) и (6.84) со обозначает вектор средней угло вой скорости, относящейся к внутреннему вращению; он определяется в каждой точке вязкой жидкости «жест ким» вращением частиц. Для кинетической энергии вну треннего вращения с такой угловой скоростью справед ливо уравнение баланса энергии (2.164), которое с уче том (2.1636) молено также записать в виде
Р0 а) • со =г — 2и • Рѵа. |
(6.85) |
Теперь запишем линейные конститутивные уравнения Онсагера для изотропного случая. Рассматривая одно компонентную (или многокомпонентную, но в пренебре жении химическими реакциями) вязкую жидкость для
8*
2 2 8 Глава VI
изотропного континуума, линейные конститутивные уравнения (3.91), (3.94) и (3.95) можно записать сле дующим образом:
рѵ — — r^V ■V = |
(Ss) |
|
|
|
— L*V •V, |
|
|||
Pva = - |
r\r(V X V — 2©) = |
a a |
(6.86) |
|
— V ('V X V - 2©), |
||||
0 |
0 |
(tt) |
0 |
|
pw = _2T)(VtOs= - r ( V ü ) s. |
|
|||
|
|
|
(s s ) |
( a a ) |
В этих линейных выражениях коэффициенты V , V и
(tt)
V даны в энергетическом представлении и являются аналогами коэффициентов в (3.98); кроме того, они свя
заны с объемной |
вязкостью т]„, |
вязкостью |
сдвига г| и |
|
«вращательной вязкостью» тіг соотношениями |
|
|||
(s s ) |
ть, |
( a a ) |
(tt) |
(6.87) |
Г = |
— Лг. |
Г ^ 2 т ). |
||
Вид потенциала рассеяния для нашего случая можно получить с помощью линейных конститутивных уравне ний (6.86):
t r г ^ СV • V f + Л [(V V : (V і>л + ^ (VX ^ - 2 о>)2, (6.88)
где первые два члена определяют обычную функцию рассеяния, известную в термодинамике под названием функции Рэлея. Если бы нас удовлетворило решение более ограниченной задачи, заключающейся в выводе обыкновенного уравнения Навье — Стокса, то достаточ но было бы оставить первые два члена в (6.88) и ис пользовать только функцию рассеяния Рэлея (см. Верхаш [65, 79]). Однако следует обратить внимание на последний член, который определяется квадратом силы
Хи = — (V X ѵ — 2(о). (Эта сила определяется вихрями гидродинамического поля скоростей и средней внутрен ней угловой скоростью составляющих частиц.) Следо вательно, взаимодействие между макроскопическим полем скоростей и внутренним вращением частиц суще ствует лишь тогда, когда V X ѵ ф 2ю. Поэтому взаимо действие между макроскопическим полем скоростей и внутренним полем частиц, связанное с необратимым
Интегральный принцип термодинамики |
22 9 |
переносом момента количества движения, происходит до тех пор, пока не станет равным нулю последний член в выражении потенциала рассеяния (6.88). Это взаимо действие можно описать с помощью дифференциальных уравнений, справедливых для ѵ и и одновременно. Наша задача состоит в том, чтобы вывести эти диффе ренциальные уравнения из интегрального принципа.
Потенциал рассеяния (6.88) можно также записать при помощи (2.156) в виде
ц г sѵ 1 (л0 - 1 л) (Vѵ •У + л[(■Ѵ ѵ :У(Ѵ*Л +
+ J^ ( V X * '- 2 g>)2. (6.89)
Используя это выражение для 'PS и выражение (6.84) для Таѵ, сформулируем принцип экстремума в соответ ствии с общим вариационным условием (6.1):
- |
J { Р* : - 2а> • Рѵа + 1 (л„ - 4 л) (V • v f + |
|
|
V |
|
+ |
Л [(Ѵг>)5: (Ѵг>)5] + ^ (V X ѵ - 2о)2 } dV = max. |
(6.90) |
Конечно, условие (6.90) дано в энергетическом пред ставлении. С другой стороны, путем замены знака мы приходим к условию минимума, как это делали первые авторы [65, 79, 80]. Чтобы исключить первый член подынтегрального выражения, воспользуемся уравне нием баланса кинетической энергии
. ( P . v ) + P: VüfpF- ü, (6.91)
которое эквивалентно (2.141) и справедливо для случая антисимметрического тензора давления Р. Применяя разложение тензора давления (2.109), это уравнение ба ланса нетрудно преобразовать к виду
|
V • (рр + |
Ѵр - pF) + V • (Pv -v) = Pv : Vv. |
(6.92) |
||
Если |
исключить |
при |
помощи |
уравнений баланса |
(6.85) |
и (6.92) первые два |
члена |
подынтегрального выраже |
|||
ния |
в (6.90) и |
преобразовать объемный интеграл от |
|||
230 |
Глава VI |
дивергенции Ѵ-(Ри-у) в поверхностный интеграл по теореме Гаусса, то вместо (6.90) можно записать вариа ционное условие
— 6 j |
I V • (ру + Vp — pF) + рѲо) • « -f |
V |
|
|
+ Y (л„ - 4 'п) (V • v f + л [(Vo)*: (Vy)s] + |
+ |
J k (V X o - 2 f t) ) 2} r f F - ö | ( P t' -o)- dQ = Q. (6.93) |
Как и всегда при выводе интегрального принципа из принципа наименьшего рассеяния энергии в представле нии через силы, в необходимом условии (6.93) макси мума (6.90) варьирование производится только по вну тренним переменным. В данном примере у нас есть две такие внутренние переменные, а именно у и (о. Следова тельно, в вариационной задаче (6.93) мы варьируем только по у и со независимо друг от друга, а все осталь ные величины считаются при варьировании фиксирован
ными. Значит, у и со, т. е. производные по времени от ско рости и угловой скорости, не изменяются, не изменяются также р и F, обусловливающие недиссипативные процес сы '), и, наконец, ничего не варьируется вдоль граничной поверхности, т. е. Р* и у фиксированы вдоль границ. В случае заданных условий вариации объемный интеграл в необходимом условии (6.93) определяет максимум в (6.90). Таким образом, плотность лагранжиана для ва риационной задачи (в энергетическом представлении)
*) Более точно, из конкретной формы общего уравнения балан са импульсов (2.7!)
рѵ + Vp + V • P Dä + V • Рѵа = p F
при |
использовании |
вариационного |
условия |
о |
0 и ЬРѵа = |
О |
6 Р |!8 = |
||||||
для |
необратимых |
частей плотности |
полного |
потока |
импульсов |
Р |
мы получаем следующие «преобразованные вариационные условия., для интегрального принципа, которые по существу эквивалентны условиям, приведенным выше
б (рѵ + Vp — pF) = 0 и 0(рѲ<в)=0,