Файл: Дьярмати, И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы.pdf

ДОПОЛНЕНИЕ

И. Дьярмати

I.Gyarmati, Ann. d. Phys., 7, 353 (1969)

А. Общая формулировка «основного принципа процессов рассеяния» и вывод уравнений переноса

Интегральные (или глобальные) принципы, т. е. та­ кие принципы, которые справедливы для всего конти­ нуума, можно получить из локальных формулировок в два этапа. На первом этапе мы должны постулировать справедливость локального принципа для всех произ­ вольных точек континуума. На втором этапе мы должны перейти от потоков и сил к таким «внутренним пара­ метрам», из которых с помощью какой-нибудь операции можно получить потоки и силы, и затем произвести вариацию по этим параметрам. Поскольку в случае про­ цессов переноса, происходящих в континууме, силы со­ гласно (6.41) всегда являются градиентами «^-пара­ метров, интегральный принцип сформулирован через па­ раметры состояния.

Для общности начнем со следующей интегральной формы универсального локального принципа:

(АЛ)

V

*) Настоящее дополнение представляет собой сокращенный пе­ ревод одной из важнейших статей Дьярмати. При переводе опу­

в опущенных частях, заменены ссылками на номера соответствую­ щих формул в основном тексте. Чтобы избежать путаницы, в до­ полнении использованы буквенные обозначения параграфов и номе­ ров формул. Литература указана по общему объединенному списку литературы; основной текст книги цитируется как работа [I]. —

Прим. ред.

где интегрирование проводится по всему объему V кон­ тинуума. Используя выражения (3.81), (4.10) и (4.9) для величин а, ср, ф и соотношение (6.41), вариацион­ ную задачу (А. 1) можно представить следующим об­ разом:

Следует отметить, что при применении формулиров­ ки (А.2) в частных случаях необходимо различать про­ цессы различного тензорного ранга. Кроме того, нужно учитывать принцип Кюри, а также то обстоятельство, что скалярные процессы (например, химические реакции, явления релаксации) тоже включаются в вариационный принцип (А.1). (Относительно этих частных случаев см. [1,98].) Вариационный принцип (А.2) можно переписать, используя следующие тождества:

Чтобы описать протекание во времени — пространстве необратимых процессов переноса, необходимо ввести в

по времени â{ величин а,. Замену можно произвести с помощью уравнений баланса (2.15). Здесь необходимо подчеркнуть два важных обстоятельства. Наше рассмо­ трение уравнений баланса (2.15) логически, т. е. с точки зрения термодинамической теории необратимых процес­ сов, не является дополнительным ограничением, по­ скольку априори должна существовать возможность определять баланс энтропии с помощью уравнений ба­ ланса. С математической точки зрения, однако, дело об­ стоит иначе, поскольку уравнения баланса (2.15) уста­ навливают связь между производными по времени вели­ чин переноса и другими величинами: дивергенциями V-/j плотностей потоков и членами сц, обозначающими источники. Следовательно, можно рассматривать вариа­ ционную задачу

которая получается из (А.5) и (2.15), как такую задачу, где на условия вариации наложены следующие ограни­ чения, вытекающие из (2.15):

б (рйі) = бет/ — 6Ѵ • / г = бсгг — V • 6 / г (/ = 1, 2, . . . , / ) (А .7)

(V и б — коммутирующие операторы). Если уравнения баланса (2.15) (или одно из них) выражают законы сохранения, т. е. о< = 0, то вытекающие из них вариа­ ционные условия будут иметь более простой вид, чем (А.7), а именно

в твердых телах [91]. (Такое же положение возникает при многокомпонентной диффузии или термодиффузии,

с помощью (А. 7) можно представить вариационное ус­ ловие (А.6) в виде

f

должны варьироваться все величины, но, конечно, обяза­ тельно с учетом вариационных условий, следующих из уравнений баланса. [Очевидно, что вместо непосред­ ственного применения ограничений (А.7) для учета до­ полнительных ограничений, налагаемых уравнениями баланса, можно также воспользоваться методом

272 Д ополнение

множителей Лагранжа.] Чтобы преобразовать (А. 11) к окончательному виду, применим тождества

Последний результат является очевидным следствием того, что в основе интегрального принципа (А. 1) лежит локальная универсальная форма (4.28), которая в соот­ ветствии с (4.32) содержит обе формы линейных зако­ нов. С другой стороны, поскольку в уравнение баланса (2.15) входит потенциал рассеяния ф, оно содержит и другие формы линейных законов (4.2). Благодаря этому из (2.15) можно получить уравнения переноса (А. 15). Наконец, из обращения в нуль поверхностного интеграла (А.14) вытекает условие