Файл: Дьярмати, И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 90
Скачиваний: 0
Основные понятия теории поля |
43 |
Отсюда следует, что масса k-то компонента, находяще гося во всем объеме V, равна
Mk( t ) = \ 9k(r,t)d V (ft = 1,2, .... К). (1.29)
V
Локальная суперпозиция, о которой мы только что гово рили, выражается следующим соотношением для плот ностей:
|
к |
|
|
|
р = |
£ р* = | ; |
|
(1-30) |
|
|
k=l |
|
|
|
здесь V = р_1 — удельный |
объем |
многокомпонентного |
||
континуума. Вместо условия |
(1.30) |
мы вводим |
весовые |
|
(или массовые) доли |
|
|
|
|
ck = ^ - |
(ft = |
1,2........К) |
(1.31) |
|
и часто используем следующее условие: |
|
|||
Ѣ с к = 1 , |
|
(1.32) |
||
k=i |
|
|
|
|
которое эквивалентно соотношению (1.30).
Очевидно, что деформация каждого компонента про исходит по-разному. Поэтому элементы массы dMh дви жутся по-разному и имеют различные индивидуальные скорости. Эти движения описываются, подобно (1.6), с
помощью функции |
|
г == r(Rk, t), |
(1.33) |
где Rk — «частица» континуума k-то компонента в смыс ле материального описания. Скорость определяется по добно (1.8); следовательно,
( * = 1 , 2 , . . . , * ) |
(1.34) |
'Rk
есть индивидуальная скорость «частицы» /?*, относящей ся к ft-му компоненту. Чтобы получить индивидуальные
44 |
Г лава 1 |
поля скоростей при пространственном описании, нужно исключить Rh из набора функций
Vk = |
Vk(Rk, t) |
(k = |
1, |
2, . . . , К) |
(1.35) |
|
с помощью обратного |
преобразования |
Rh = |
Rk(r,t) |
|||
(1.33): |
vh(r,t) |
(k — |
1, 2, |
. . . , |
К). |
(1.36) |
vh = |
||||||
Можно заметить, что поля скоростей континуумов, соот ветствующих отдельным компонентам, не независимы друг от друга, поскольку, согласно условию локальной суперпозиции (1.30) [или (1.32)], они определяют ско рость V центра массы в получающемся континууме. Ско рость V центра массы «частицы» R многокомпонентного континуума определяется индивидуальными скоростями Ѵі, ѵ2, . . . , Vh «частиц» Ri, R2, ..., Rh компонентов кон тинуума в соответствии со следующими требованиями. Сумма индивидуальной и локальной плотностей потока массы
ІЦг, 0 = Рk{r, t)vk(r, t) (fc = 1, 2, . . . , К) (1.37)
должна быть равна локальной плотности потока массы многокомпонентного континуума
/ о(г, о = р (г, о »(л О; |
(1.38) |
следовательно, должны выполняться соотношения
к |
|
|
рѵ = 2 |
PkVk |
(1.39а) |
V = 2 |
ckvk |
(1.396) |
k=i |
|
|
соответственно. Эти соотношения можно рассматривать и как определение скорости ѵ центра массы в случае многокомпонентного континуума.
С точки зрения корпускулярных теорий (например, кинетиче ской теории Больцмана) индивидуальная скорость ѵк есть скорость элемента массы dMh, который находится в момент времени t в точке г пространства и содержит еще очень большое число оди наковых частиц (атомов, молекул, ионов и т. д.). Поэтому ско
|
|
Основные понятия теории поля |
|
|
45 |
|||
рости Vti связаны с соответствующими корпускулярными |
скоро |
|||||||
стями »а следующим образом: |
|
|
|
|
|
|||
|
vk (г, |
t) Ч-* |
(г, |
t)) = J bkf k (r, |
t) |
|
(1.40) |
|
где |
fk — функция |
распределения |
скоростей для |
частиц ft-го |
вида, |
|||
для |
которых выполняется |
уравнение переноса Больцмана [6]. |
||||||
В свете корпускулярных теорий можно сказать, |
что |
поля |
скоро |
|||||
стей Ѵк могут быть представлены |
как средние значения |
скоростей |
||||||
частиц, образующих элемент массы dMk. Как из феноменологиче ского, так и из молекулярного рассмотрения (которое, конечно, бо лее наглядно, но не является необходимым для изложения теории поля) следует, что индивидуальные скорости vk различных компо нентов среды макроскопически проявляются в явлениях диффузии.
Найдем скорость диффузии и плотность потока к-го компонента. Поскольку, согласно (1.39), скорость ѵ цен тра массы «частицы» dM определяется индивидуаль ными скоростями Vh «частиц» dMk, целесообразно зада вать СКОРОСТИ ДИффуЗИИ Wh и плотности потоков Jh = рhWh по отношению к скоростям центра массы. Сле
довательно, по определению,
wh == ѵк — V (k == 1, 2, |
.. ., |
К) |
(1.41) |
и |
1, |
2, . . . , К) |
(1.42) |
Jh = PhWh = ph(vh — v) (k = |
есть скорость диффузии и плотность потока, отнесенные к локальной скорости центра масс. В соответствии с данными определениями индивидуальное движение k-ro компонента со скоростью ѵк состоит из двух частей: из движения центра масс со скоростью ѵ и диффузии со скоростью Wh относительно предыдущего движения. Из (1.39) и (1.42) следует также, что не все плотности по токов диффузии независимы, поскольку в силу соотно шения [получаемого суммированием (1.42)]
к |
к |
к |
|
2 |
Jh = 2 |
PkWk — . 2 Pft (ѵь — г>) = 0 |
(1.43) |
k=i |
fe=i |
&=1 |
|
количество независимых плотностей потока уменьшается до К — 1. Это соотношение показывает, что плотности потока диффузии должны удовлетворять локальному условию, вытекающему из условия (1.39).
46 |
Глава I |
В заключение для скалярной полевой величины А приведем уравнение, подобное (1.14); оно относится к индивидуальному движению k-то компонента среды. Ес ли по аналогии с (1.14) ввести субстанциональную про изводную по времени для /г-го компонента, движущегося со скоростью Ѵи, то искомое уравнение принимает вид
d(k)A |
/ |
ЗА |
+ Ѵк ■VA. |
(1.44) |
|
dt |
\ |
dt |
|||
|
|
Здесь dw/dt — субстанциональный дифференциальный оператор, относящийся к k-му компоненту, а Vk-VА есть мера изменения полевой величины А вследствие конвек ции k-ro компонента со скоростью ѵк. Позже будет ис пользовано и уравнение
Л |
âA |
= wk ■VA, |
(1.45) |
dt |
dt |
|
|
которое получается вычитанием (1.14) из (1-44). Сле дует подчеркнуть, что в уравнениях (1.11) и (1.21) и соответственно (1.44) и (1.45), чтобы избежать громозд ких тензорных обозначений, используется предположе ние о том, что полевая величина А — скаляр. Если в дальнейшем некоторые из выведенных соотношений бу дут применяться к вектору или полевой величине более высокого тензорного ранга, то надо использовать их для всех скаляров, количество которых определяется ран гом тензора. Читатель должен иметь это в виду.
ГЛАВА II
Уравнения баланса
В этой главе в локальной и субстанциональной фор ме даются общие уравнения баланса, имеющие основное значение в теории поля. Вначале описываются суще ствующие между ними соотношения, а затем детально обсуждаются уравнения баланса, необходимые для раз вития термодинамики в терминах представлений теорий поля. Подробно обсуждаются балансы массы, импуль са, заряда и момента количества движения, а затем опи сываются различные балансы энергии для многокомпо нентных систем. Эти уравнения баланса позволяют определить баланс энтропии (гл. Ill), который играет центральную роль в термодинамике и применяется при рассмотрении многокомпонентных и реагирующих гидро термодинамических систем, имеющих особое значение в химической промышленности, физике плазмы, биоло гии и т. д. После этого мы постараемся получить урав нения баланса в обобщенной форме, пригодной и для мо делей систем, поскольку в настоящее время уже воз никла необходимость в теоретическом термодинамиче ском исследовании таких моделей. Здесь прежде всего можно отметить так называемую термомеханическую теорию пластических материалов и реологических си стем, а также термо- и электродинамику диэлектриков.
§ 1. Общие уравнения баланса
Пусть А — произвольная экстенсивная величина и а — соответствующая ей удельная величина, относя щаяся к единице массы. Если полевая величина А рас пределена в материале континуума, имеющего объем V и плотность р, то полное изменение величины
(2 . 1)
У
48 |
Глава II |
в зависимости от времени
J ра dV |
(2.2) |
V
может быть вызвано, вообще говоря, двумя причинами (фиг. 2), а именно
Фиг. 2.
1)потоком величины А внутрь объема V или из него через поверхность £2.
2)уменьшением или увеличением величины А внутри объема V, которое связано с существованием во вну тренних точках континуума источников или стоков для Л.
На основе этих двух положений определяются общие уравнения баланса. В зависимости от того, какое описа ние мы выбираем, пространственное или материальное,
получается локальная или субстанциональная форма
уравнений баланса.
а . Л о к а л ь н ы е у р а в н е н и я Чтобыа л а н получитьс а .
общую форму локальных уравнений баланса, основан ных на пространственном описании, будем исходить из предположения, что объем, для которого необходимо выразить изменение величины А, покоится относительно внешней (эйлеровой) системы координат. В этом случае