Файл: Дракин, И. И. Основы проектирования беспилотных летательных аппаратов с учетом экономической эффективности.pdf

Здесь (.іт vi, (Ат/и и |AT xi — соответствует і-й ступени «-ступенча­ того БЛА. Учитывая выражение (4.23), теперь можно написать

Это уравнение связывает между собой значения рт,, оно име­ ет место для любого многоступенчатого ЛА, ступени которого работают последовательно. Это уравнение будем называть урав­ нением связи.

Основной трудностью оптимизации топлива многоступенча­ того ЛА является необходимость учета кинематических и аэроди­ намических характеристик ЛА, которые в общем случае не вы­ ражаются аналитически. Уравнение связи (4.29) позволяет из­ бежать эту трудность. Вместо непосредственного учета кинема­ тических и аэродинамических характеристик достаточно учесть при оптимизации только величину рт0, которая воплощает в себе эти характеристики.

В рассматриваемой задаче минимизируемой функцией явля­ ется стартовый вес G0, варьируемыми переменными являются относительные веса топлива ртг-, которые связаны между собой уравнением (4.29). Применяя метод множителей Лагранжа и обозначая

где К — множитель Лагранжа, уравнения оптимизации будут

Эти уравнения должны решаться совместно с уравнением (4.29).

При оптимизации топлива в ступенях полагаем, что заданы следующие кинематические величины: Ѵ0, Ѵср, Ук и траектория. В этом случае импульс скоростного напора qaMUÄ const, см.

164

рис. 1.4 и соответствующий текст. Это позволяет при дифферен­ цировании функции Z считать

Рт0 = const,

т. е. принимать величину рт0, не зависящей от какой-нибудь ве­ личины рт т, но учитывать, что совокупность величин рті свя­ зана с рто уравнением (4.29). Постоянство величины рт 0 сохра­ няется точно, если сохраняются при оптимизации неизменными

сохранения неизменными законов изменения указанных величин можно потребовать сохранения постоянными интегральных ве­

Эти равенства будут справедливы, если будет сохраняться траектория полета, законы изменения скорости и баллистическо­ го коэффициента по времени.

Практически постоянство всех указанных величин и функций технически не целесообразно выдерживать. Например, не целе­ сообразно точно выдерживать закон скоростей, хотя легко мож­ но выдерживать величины

Ѵ 0, Ѵ к, j 1/dt, v 0, 1/K.

о

Поэтому в действительности рт о несколько зависит от каж­ дой из величин рт но эта зависимость при практических усло­ виях полета слабая. Ошибка в определении G0mm при принятии jxTo = const может быть за счет возможной существенной разни­ цы в баллистических коэффициентах 1 и 2-й ступеней. Кроме того, на указанную ошибку влияет относительное время полета 1 или 2-й ступени, а также соотношение ускорений. Если время полета 1-й ступени ті = 0 (мгновенный разгон), то ошибка в оп­ ределении Gomin при принятии pT0 = const будет близка к нулю.

Вдействительности для маневренных БЛА

ипоэтому роль аэродинамического сопротивления в балансе топ­ лива первой ступени ракеты — незначительна.

Если в процессе работы двигателей 1-й ступени ЛА выходит за пределы плотных слоев атмосферы (выше высоты 25 км), то роль аэродинамического сопротивления для 2-й и последующих ступеней становится ничтожной, если при этом происходит интен­ сивный набор высоты. Например, БРД Д «Минитмен» при работе

165

Это выражение является результативной формулой для опреде­ ления оптимального относительного веса топлива /и-й ступени. В правую часть этой формулы входят параметры т-й ступени и величина %< являющаяся общей для всех ступеней, ниже дано ее определение.

Для і-і'і ступени по формуле (4. 33)

1 1+ а,- (а,- + Ii g i )

"г і

yJt - 1

Подставляем это выражение в уравнение связи (4.29); группи­ руя отдельно члены, содержащие величину %, находим

Заметим, что в выражение для ѵ входят только величины, кото­ рые должны быть известны до начала оптимизации, в частности величина цт 0 должна быть определена по формуле (4.23). Не­ расходуемые или расходуемые неэффективно остатки топлива целесообразно включать в величину а, с учетом потребной для них конструкции.

В формулах (4. 33) и (4. 34) величины %, цяі, а, и /,■ являются для данной задачи постоянными. Если предполагается оптимизи­

ределяя затем стартовый вес, находят оптимальное значение параметра по весовому критерию или по экономическому (см. разд. 3. 1).

Так как

27‘=ß’

1

Из этого уравнения можно найти величину %, входящую в фор­ мулу (4.33). Заметим, что величина %в правой части уравнения

167

(4. 35) входит в дробных степенях, поэтому это уравнение долж­ но решаться методом последовательных приближений или гра­ фически.

Рассмотрим частный случай, когда во всех ступенях значения іі — одинаковы. В этом случае /*= 1, см. (4.27). Обозначим через хо значение %ПРИ й = 1. Тогда из уравнения (4.35)

то формула (4. 36) также может применяться, ошибка при этом будет незначительна. Если Д или хо не удовлетворяют условиям (4.37), то значением хо можно воспользовать­ ся как первым прибли­ жением при нахожде­ нии величины X из уравнения (4. 35). Для двухступенчатых БЛА значение-X по величине Хо можно найти по гра­ фику, приведенному на рис. 4.5. Этот график построен по уравнению (4.35) с учетом выра­

жения (4.36).

При оптимизации топлива многоступен­ чатых БЛА в качестве основной исходной ве­ личины является зна­ чение цт0 [см. формулу (4.34)]. Эта величина соответствует расходу топлива одноступенча­ того ЛА, имеющего те же баллистические

(траекторию и закон скоростей) и аэродинамические (X/G ) ха­ рактеристики, что и многоступенчатый БЛА. Из последнего свой­ ства следует, что при определении рт0 следует пользоваться фор­ мулой (1.56), а не формулой (1.60). Это затрудняет решение

168

задачи, так как при определении величины ртж по формуле (1.54) необходимо учитывать переменность полетного веса G.

Для упрощения расчетов приравняем правые части формул (1.56) и (1.60),тогда найдем

Учитывая третье выражение (4. 28),

Здесь г — индекс ступени. Заметим, что значение баллистическо­ го коэффициента, входящее в выражение для рта{, будет

_ _

где G{ — начальный вес I-й ступени.

Нахождение величины ртжо с помощью формулы (4.38) сле­ дует делать двумя последовательными приближениями. Вначале возможно определять ртао по формуле (1.66) как для односту­ пенчатого ДА

где k соответствует количеству участков, на которое разбивает­ ся траектория (см. разд. 5. 1, гл. I) индекс / — соответствует но­ меру участка. Значение рто определяется по формуле (1.60). Затем после определения величин рт нахождения весов, траек­ торий и скоростей отдельных ступеней ищут значения

І-г

целесообразно в первом приближении принять ориентировочную разбивку траектории и скорости по ступеням, например, по ста­ тистике.

Для ракетных двигателей, а также ракетных с ракетно-пря­ моточными (в разных ступенях)

0,5 <7,- < 1,5, e ^ > Tdi< 0 ,3 .

169