Файл: Богданов, В. Н. Теория вероятностей (учебное пособие).pdf

§ 10.

Математическое ожидание

и дисперсия

случайных величин,

входящих в

систему

Математическое ожидание и дисперсия случайных величин, вхо­

дящих в систему ( Х 5

) определяются таким же

способом,

как это

было сделано ранее, когда рассматривалась одна

случайная

величи­

н а .

Выражая плотность

распределения % № ) я

по ф орм ам

(2 .7 .1 ) и ( 2 . 7 . 2 ) , получим?

-}•оо

ЧСО

"*1

*2*,

-со

•Vсо

ЕП) -)]

- 0 0

чоо

В Д

- \ \

ttoc-cLiv

-•QQС О

У

§

I I . Ковариация случайных величин,

входящих

в систему

Как было

изложено ранее,

случайные

величины 1

и ^ находят-

v

>

ся в вероятностной зависимости, если при

различных

значениях одной

из нкх

другая

имеет различные

плотности

распределения,' Возникает

необходимость

характеризовать

степень такого различия или тесноту

чаемая

или

и

определяемая равенством:

U r ( X , 4 ) -

IV f- ^

<*х ,с ^

Если X й **?

вероятностно

независимы, то Ce<l(X,4 ) - 0 «

Действительно,

з этом случае.

-<{ Д х Н з - Ц ’)

f сО

4 00

ь и х . , 4 ) - j p - u ) > u * , y i

-

-оз и

р ,*50

—сэ

+оО

*i?°

Л Х -

зи

между

X

й V • Однако

обратное

заключение

сделать

«ельзя. Ко-

вариация

может быть равна

нулю,

хотя

ф

величины

зависимые,

случайные

*

г

В этом случае они называются некоррелированными.

% 12. Функции случайных аргументов

Если между случайными

величинами

X

й V

существует вероят­

ностная зависимость, то не

известно,

чему

буд^т равно ^

*

когда

X

примет определенное

значение,равное % . Известно

лишь,

в ка­

ком интервале

и с какой

вероятностью

может

быть

"Н .

Например

( см. рис♦ 2 .9 .1 ), при X

Ч

$

}

^

площаДЙ М О .

Однако

возможен следующий

частный случай. гри каждом значении

\ ъ % график

функции

выглядит так, как показано на рисун­

ке

(2 .1 2 .1 ),

Каждому определенному

значению% - % соответствует

в а л (х ,Х * А °0

(см . р и с .'2*13 .1 ).

Поэтому вероятность попадания^

в интервал 6 ^

равна вероятности

попадания X в интервал

:

( 2 . 1 3 . 3 ) '

В силу непрерывности заданной функции,

0

при Д0с~?О

.

Фор­

мула для E (V ) * где " У -4 (X ) принимает

окончательный

вид:

•

'

^со>

е [4 (Х)

|

-

“ 1 i M

' 4

,lx)<Ax

сг.хз.^)

( при х^оказательстве считали функцию

возрастающей ).

По тому же принципу выводятся следующие формулы:

Дисперсия функции одного случайного аргумента:

3) [{(I)}- * [ Шх)-Е

<2ЛЗ-5>

-с о 1

ожидание

функции двух случайных

аргументов:

Математическое

- | 1

Ц ъ № * ф * * %

{2ЛЗ‘ 6)

Дисперсия функции двух случайных аргументов;

» Н а,ч )Н

* 5

<гл’ ’7)

. - 00

§ 14.

Закон распределения линейной

функции

случайных

й

аргументов

Дано:

линейная

функция

~ У\%+ 4 ,

где

К

и

4

-

коэффициен-

с

Требуется

найти

•

ты, и плотность распределения аргумента

плотность

распределения

функции

.

Считая K'jO

(

при

этом

данная функция

является возрастающей),

используем равенство (2 Л З .З ), Разделив

обе

его

ч&сти

на

и

половив fi3c—^ Г) ,

получим

, Выражая

согласно заданной

фуехции X, через

ч’

находим %

i

l

и определяя*

я

> о “

Гч

:

Л

V