Файл: Богданов, В. Н. Теория вероятностей (учебное пособие).pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.10.2024
Просмотров: 77
Скачиваний: 0
|
81 |
Отсюда: |
(2Л 4.2) |
Если *40 (при атом апаш! АХ и |
различные). равенство (2.13.3) |
имеет вид |
• йровеыш так же. найдем |
|
о л о ) |
Сравнивая формулы (2.1Л.2) и <2.1***3). видим,что они могут быть объединены в одну:
W -ftVU^l |
(2 .U .I) |
|
|
§ 13. Теорему о математическом ожидании и диоперсии |
|
Формулы математического ожидания и дисперсии функций случай-
|
* |
|
ных аргументов используем для доказательства следующих теорем: |
||
I.t Математическое ож«щаше постоянной (или не случайной) ве |
||
личины равно ел самой. |
,^ |
|
Пусть |
|
^ • |
|
-со |
|
2. Дисперсия постояшой величины равнанулю. |
||
|
•уой |
^гОО |
Пусть \ m * t • ТоГда^ (с)г [ [с- е^ Ч |
м й х Ц И М * - ) ^ " 0 |
|
3. Постоянный сомножитель можно выносить за знак математи-
'>
ческого ожидания.
HysTb-^Xl-C-X .Догда
|
£(С -Х )-| |
j Х-ЦДхуоОс. - C E ( X ) |
|
4. |
- О » |
- С О |
|
За знак дисперсии |
постоянный сомножитель выносится возве |
||
денным в квадрат. |
+в> |
^ |
|
Пусть { ( , \ ) - ( . \ , тогда ${tX) - 1 [ffc-E W O ] |
|||
|
|
оо —о® |
|
- Т ( м . - с Ё Ш ] Ч W A 3 t = c ‘ I |
- t Ll { X ) |
||
-со1 |
|
**«> |
случайных величин равно суц^ |
5. |
Математическое ожидание суммы |
||
ые их математических ожиданий.
|
|
|
82 |
|
|
|
|
■i oG |
|
Пусть |
|
. |
т о г д а Е а ^ ) - ( [(* П Ж М ^ * < Ц - |
|
+CG |
|
**0C |
■'°° |
|
1| ^ |
0 |
+ \ 1 |
\* ,1р Л *-Л ^ z EOL) -v f. CJ) |
|
- ао |
-QC |
|
. Обозначив |
|
Пусть |
имеем сумму |
трех случайных величин Х**3”*^ |
||
Х ,^ |
- I f , находим: £ 1 У*•♦У+1) -Е(0 * i) -£($) *ЕИ ) - |
|
||
I Е ( Х ^ ) t Ш ) -
Таким же способом доказывается, что данная теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.
6.Дисперсия суммы независимых случайных величие равна с
их дисперсий. |
|
-vco |
|
^ |
Пуст? |(Х .^)-Х +13 . |
|
тогда3)(Х'^) =■1 |
1 |
4l' Vj)dx'dlf: |
* ofi> |
f. |
J>QO |
л |
|
'•|J [ х - Е Щ ^ - Е М ] |
|
' [ [ f e - Щ |
W |
* . ^ * ^ * |
- со |
|
О |
|
|
-СКЗ |
-us |
'w |
n«4 |
«V> |
- а т - ^ м х ^ + а д -
Так как X и 'J независимы, то |
. Следовательно, |
Ъ\Ж) *34^5) • Теорема справедлива для любого конечного |
|
числа слагаемых. Доказать это можно таким же способом, как было оделано в предыдущей теореме.
7. |
Математическое |
ожидание произведения |
независимых случ |
||
ных величин равно произведению их математических ожиданий* |
|||||
Пусть |
“Х'^5 • |
Так как |
X и **3 |
независимы, |
то^Х^-ЧДХ)^ |
При этом имеем: |
Ч-»0 |
|
|
+<50 |
|
|
|
|
|
||
|
Ш Я ) |
- \ \ *■ |
,I*) ‘{А ч ) |
|
{ |
|
d иг | %<\ х%)Ц ^ *(' |
||||
ч- ЪЗ |
|
~*>0-+С£> |
|
г |
»к£ |
- | x 4 . W d * . - E 0 j ) - E l 3 ) J х ч ^ Н х - а д Ш ) .
ос |
ОО |
83
8, Дисперсия случайной величины равна разности между матема
тическим Ожиданием квадрата этой случайной величины и квадратом её ма
тематического |
ожидания. |
Пусть V - |
-X . , тогда |
- 1 j x - t ( X ) ] |
(fA*) d х - t. |
^ d* - 2.ЕШ |г д*.) ЛX Ч" |
- O Q |
|
» СсР |
Н Е Ш ] 1- ) ч.№ <*ъ = S *-l W |
* ) - l [ f . < X ) f ->[ f - 'J l f - 1 " |
|
- o o |
- O O |
|
+ <x? |
•Л |
|
|
|
|
-1 f:OOj
-00
-VO c |
|
|
|
|
Но i |
- Е ( Х 1) |
. |
Действительно, если |
рассмотреть |
|
|
|
■* <эо |
|
функцию 1 Ш |
- 1 1 . то Ц У 1) - J X ,'4 A /J:A d /X . |
|
||
Следовательно, Э Д - Ц Х ^ [ Е М Г . |
|
|||
З а м е ч а н и е . Свойства |
математического ожидания |
и дисперсии |
||
были доказаны для непрерывных случайных величин, однако они имеют место и для дискретных случайных величин.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ П
Законы распределения |
случайных величин • |
(к » |
1, 2) |
|
О |
1. Производится набрасывание колец на колышек до первого по падания, либо до полного израсходования всех колец, число которых равно пяти. Построить ряд распределения числа брошенных колец, е с ли вероятность наброса равна 0 ,9 . Найти функцию распрезеленяя и построить ее график.
84
Р е |
ш е н и е . Случайная величина |
X |
- числа бросаний, Её |
ва |
|||||||
рианты: |
|
I ......... %s * 5. Вычислим вероятности |
вариантов. |
Пусть |
со |
||||||
бытие J? |
- |
попадание на |
колышек, |
собы тие^ |
- |
промах,-По условию |
|
||||
Pl*A)-0»S |
, |
следовательно |
, |
^ 1--0|S |
|
|
|
|
|
|
|
Событие X-Ос, означает наступление |
события |
|
при первом |
бросании |
|||||||
|
|
. СобытиеX -X * . состоит |
в совпадении |
событий J- |
и ф |
„ |
|||||
• По правилу |
умножения вероятностей |
|
|
|
|
- 0,0^ |
• Событие |
||||
Х"-' |
состоит в совпадении |
событий Л |
J[ |
и ф |
, откуда |
|
|
||||
р ( ^ ) р ^ ) р ( ^ ) х 0-,0ОЗ р |
аналогично |
р№ м)-[Р^)]*р(уД )-0,0009, |
|||||||||
Событие X - X* означает, |
что |
при первых |
четырех |
бросаниях |
произошли |
||||||
промахи. Поэтому |
|
-0,0OOl |
независимо от того, попада |
||||||||
ние или промах произойдет при пятом бросании. Окончательно имеем ряд распределения:
г . Партия в 100 изделий содержит бракованных 10. На проверку берется 5 изделий. Построить ряд распределения числа бракованных изделий в выборке. Найти функцию распределения и построить её гра фик.
Р е ш е н и е . Случайная величина X |
число бракованных изде- |
85
лий в |
выборке. Ее в а р и а н т ы : |
0 ......... |
|
5. |
Найдем вероятность |
|||||||||
того* что в выборке |
содержится |
к |
бракованных |
изделий* т .е . вероят |
||||||||||
ность |
варианта |
, Восшдазуемо; |
классическим определением ве |
|||||||||||
роятности: |
» гдб Пг-число всевозможных |
случаев* то |
- |
|||||||||||
число |
благоприятствующих |
случаев. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Число |
возможных выборок, разнящихся |
по |
крайней |
мере |
одной деталью, |
|||||||||
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
|
|
по |
|
В партии |
|||
равно числу сочетаний из 100 элементов |
5, т . е , 1г - С 1вв . |
|||||||||||||
10 бракованных изделий. Число составленных из |
них групп по |
К |
дета- |
|||||||||||
лей, разнящихся по крайней мере одной деталь», |
р а в н о - . |
Совмест |
||||||||||||
но с каждой такой группой может быть любая из |
групп |
по (5 |
- к ) |
до |
||||||||||
брокачественных деталей, разнящихся |
по крайней мере одной деталь», |
|||||||||||||
число |
их равно |
. Тогда |
|
ftv- |
О |
|
и искомая |
вероятность |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
К * м О -С * -С Г Г‘ *^Г |
. Давая |
К |
последовательно |
значения О, |
I . . . . 5 |
|||||||||
и выполняя арифметические действия, |
получаем искомый ряд распреде |
|||||||||||||
ления в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
* 0 |
I |
|
|
2 |
|
" — |
...— |
4 |
5 |
||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
. |
||||||
|
р « ч ) |
. 0,583 |
0,340 |
0,070 |
|
0 *00'7 |
• |
0. |
0 |
|
||||
П р и м е |
ч а н и е . |
Вычисления выполнены с точностью до 0*001. |
||||||||||||
Функция распределения и ее |
график. i |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
приХ^О |
46,Ь*Ъ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
.о,ш > |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при HScJjL |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
W |
: |
|
при |
|
|
6ЯЬ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при Ъ\^{Ч |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
прл Ч Х ^ а |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
при XlS* |
|
|
|
|
|
|
|
|
г ° ^ Х |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3, Может ли Функция
роятностей случайной |
величины |
|
а )от ь- до |
ъ |
б ) ОТ |
|
||
быть интегральной функцией не*
А, ; |
|
в пределах: |
меняющейся |
||
до |
-40 |
? |
Л |
||