Файл: Богданов, В. Н. Теория вероятностей (учебное пособие).pdf

Р е ш е н и е ,

Если

непрерывная случайная величина X

меняет­

ся в пределах

от Cl до &

, то интегральная Функция вероятностей

должна быть положительной, не убывающей на интервале

обладать

свойствами:

1Чс*Л*0

и

. Делаем про­

верку :

а) Функция ч-<>и\,Хположительная

и возрастающая на

интервале

(

0, ^ ,

о

L

кроме Toro,iuv0-0 ,

Ответ положительный.

б ) Функция

5,Си х.

на

интервале

(

о,Т\ )

не является

монотонной,

* up, 0= 0 ,

iurv-л -О

.

Ответ

отрицательный.

4, Найти

постоянную

с,

из

условия,

~ъ

чтобы Функция^-С-&

явля­

лась интегральной функцией вероятностей случайной

величины

X

,

изменяющейся

в пределах

от

0

д о + -о о .

Р е

ш е

н и е.Если

Ft*-) естъ интегральная функция вероятнос­

тей -случайной

величины

X

р меняющейся

в пределах

от Со до

4

* то

ющей и при

этом FlAl

-0 , f4 1 ) - 1 .

У нас о .-0

о

, отсюда(1-I . При этом

значении 0/ данная функция

, i - t z C

положительная, возрастающая и

, так

как

X -ч гео

5. Случайная величина X

изменяется

в

интервале

о т - ° ° до-^ оо.

Её интегральная Функция вероятностей имеет

вид: К ^ ) -C-v-ft

Требуется

найти: а)

постоянные

С и К ,

б )

плотность

распределе­

жется

в

интервале от 0 до 2.

Р

е

ш е

н и е .

а )тЛз условияK ^ - F l r 00) -0 и Ц4>)-F I*'3**)*!

получаем

систему уравнений:

Р

■ . . .

/

„ л . - , > 1. . Х л .

(

VXWm

(с *

f-vctctb ^ Nj -0

<

V -л - ОО

О

J

•

У* СлД/С ^и

^ 'j —\

С v fv*\ С

X,

л

1

Р е ш е н и е .

Пусть ближайшим к стрелке

оказалось

деление

m .

Фактическое

положение

стрелки -

случайная величина X .

Интервал

её

изменения от

№ - 0,1

до ИИ 0 ,1 .

Распределение равномерное, т .е .

внутри интервала им ееи ^(х):;£, вне интервала

Из условия

t-dlX -i

находим

. Отсчет будет сделан с ошиб­

кой не б?}йе

0,05

сек, если случайная величина

X. окажется в интер­

вале от W -

0,05 до т + 0 ,05 .

Вероятность

этого

( т .е . искомая

вероятность) равна:

8.

Известно, что если лаш?а проработала

X

дней,

то вероятн

её выхода

из строя в

следующие. Д Х

дней равна

К ДОС. .

Найти

вероятност]

выхода

из

строя лампы в течение Ь

дней.

Р е ш е н и е .

Случайная величина X - число

дней с момента

включения до перегорания лампы. Интегральная

функция

вероятностей

£ (ъ )

®оть вероятность т о г о , что лампа перегорит

в промежутке от О

до % . Тогда искомая вероятность будет равна

*

R& )

Поэтому

для решения

задачи необходимо найти

интегральную

Функцию •

путь

(назовем

его событием А

) : лампа перегорит

в промежутке вре­

мени

от 0 до

ос. . На основании вышеизложенного

вероятность собы­

тия «А равна:

р ( А ) ~

Если

обозначать А

- событие,

противоположное событию А

( т .е .

лампа за указанное время не перегорит), то

Второй путь (назовем его

событием Ь ) : лампа не

перегорит

за

в р е X. ( т ,е .

произойдет событие j f ) и перегорит

за

время д х

(на­

зовем это событием ф ) . Таким образом, событие 6

состоит

в совпа­

дении событий

и

S) .

Величина

р (Л ) найдена выше. Величина р(Д>) дана по условию;

рД О =К аХ . Тогда.

|H!b)s [}-Г*С*-)}'6'Л%.

Поскольку

для

перегорания

лампы за время

достаточно одно­

го из

событий

кЯ

или &

,

то по

правилу

сложения вероятностей по­

лучим?

H x-vA % )

'

Поскольку

будем

иметь?

f (%.) + A р (ъ )

- Р(% } ■» [I ■- Г-W

] К.-6Х .

Отсюдр

& f - W

^

При

получим

■f f

i

- K-M^c

(? ** Р

{ ~ Г-

{%)

Интегрируем

это лифТеренциальное

уравнениеs находим;

г , ■

- 1-

а(&ч%-$С>^

И ъ )

ь

Постоянную

t

найдем из следующего условия0 Время, потребное1для

перегорания, всегда положительно* Поэтому случайная величина Т .

изменяется

в

интервале? ( о * © © ) .

Как

известно,

если

0 то f IW -О •

1.

Поэтому

О

о Отсюда L * О0 При

этом условиеК^)»Р^Ьо)-5

токе выполнявтсяа Итак, F{%) %\~Ь №

Искомая

вероятность равна

К * ) !

г

■Н/

9 о

Вероятность

того ,

что

молекула,

испытавшая в

момент X » О

столкновение

с другой молекулой и не шевшая других столкновений

до момента

% р испытываем

столкновение

в

промежутке

времени

. ( x yX-frA%^

равна

&•&%

0 Найти

вероятность того , что

время свобод­

ного пробега

(То©,,

время

между

соседними

столкновениями) будет

больше X

о

F в

ш о

и ш ©о

Случайная

величина X

- время свободного про­

бегаю

Если j - ( x )

-

её интегральная функция

распределения, то р(% )~