Файл: Богданов, В. Н. Теория вероятностей (учебное пособие).pdf

вероятность

того, что время свободного

пробега меньше

X . Тогда искомая вероятность

Для решения задачи необходимо найти

Способ

нахождения

аналогичен использованному

в

предыдущей за-

заче.

Событие 'Л -

молекула получила

столкновение

за время

X .

р(Л)-(ЧОс)

• Событие Ъ - молекула

не

получила

столкновений

за

время

X ,

но имела

столкновение за

время &Х .

Используя правило

Далее

имеем:

- к * - » * * ) - \ ч £ )

* |чво

(вероятность столкновения за время

Рw

+ А г-(х) - р(X1)fb-r-(X)] V- АХ

Отсюна, при й х —» 0 получим:

UilEJJSJ— -

у-п1л,

'- К х )

Интегрируем уравнение, находим

Время всегда положительно, т .е . О

Из условия F W -0

находим С «

0.

-nx.

~пх

Искомая вероятность:

|р( J w 'X ) - М + £/

-

& .

10.

На телеграфной

линии <АЪ длиной

Ь произошел разры

ти вероятность того,

что точка разрыва

удалена

от J}

на расстоя­

ние не

менее

&> .

Р е ш е н и е .

Случайная величина

X

- расстояние

от точки

случайная

величина

X

имеет равномерную плотность распределения

чнаервале

от

0

до

Ь

:

О

при

Х <0

ч м- t

при

.0

при

л .

f

Постоянную

С

найдем

из условия

. Получаем

Хо

Найти математическое ожидание

и дисперсию дискретной случай-

У

X 0 заданной

рядом распределения*

ной величины

1.... —

Р--- J———г—--- ----- - 1 -- --- г— —-—

} к„

1

1 9

4

7

8

ХО I

1 5

2 1

|КМ| 0 , 0 5

J.6 , 0 5

Ор2 .

-

0 * 4

од-

од

.

0 , 0 5

0 0 5

»—i... -,.i

.......

ГТП■IWtJltt1l*JIJ....i„,■«—.—it

*

<

2 а Непрерывная

случайвая

величина

X

ямее® пдотяоета

раеаре-

•

*|3с|

*

*

I

9 ш г& ш тичее&ое

ожидание

деления s^(pt) s- t*&

о Найти постоянную

и дисперсию»

+f>

.,«5 Р е ш е

в

и е .

йеатояннув

® находи

из условия? }

^Wijclfcs

'* . ( ь £ г 'йз£,з|

, С Д т

. «

>«.

,

■о

■

Е(Х)л jx-<|i%)dx= |*•£,-<,

-о

- как

интеграл

■*Со

*00

от нечетной ^ункаия*

-5о»

„

г

"

■* аО

• оО

>

г

“ 03

вероятностей

*

“V

За Интегральная-функция

случайной ведтошы

Л

имеет видs

0

ГО при %ч-*

”

1Ч х )

с + к<*ль&и#ъ

нри - ч х <+1

Определить

ч | при Х7•*

ожидание'

я диспер­

Постоянные. о

ш к

0 математическое

сию.

Р е ш е н и е *

Воилу непрерывности

РЧ*)

веточках

Xz |

я

X - I

должно быть*

о

F(~|+o)

и

F(H0)

в

F(w o)

в Отсюда по­

лучим

систему

в

ret

.

jQ ~

Urn ( с t кадмспъ)

[ j

-

4om (c -t & (хгчдйпх)

ус ч i\

--

z \

Решив которуюe найдем:

С

.

Находим плотность

pa сиределения, вероятностей по

формуле :V (x)-F ‘(x,).

Получим:

(

0 при Х<-1

^ г )

= N

при ' к а < '+‘

[

0 При 3v)1'I

Математическое ожидание с ( Х ) и дисперсию 3)(Х)

находим по известным

формулам:

г

♦Я3

- i

-v00

i

Е Ш 1 ] « • • 4 ^ ) c l x i jo d x + j ^

= ^

. + |o Лос - о

— CD

— o q

Ч -I _____ -+1.

I

+О0

§)(1) i

J (х-Ех) ЧЫ^Х = j <И*.+j

тi° dx ‘ i

-

-ой

- gq

*l

*

»

а. Считая, что вес тела с одинаковой вероятностью может быть

равен любому целому числу граммов

от I до 10^ Определить, при какой

из указанных ниже схем разновесов

среднее число гирь, потребных

для взвешивания, будет наименьшим (гири

можно ставить только

на од­

ну чашку весов)*

Схемы разновесов:

I )

I ,

2 ,

2 ,

5,

10

.

2 )

I ,

2 ,

3,

4,

10

3 )

I , I , 2 , 5,

10

Р е ш е н и е .

Рассмотрим первую схему разновесов.

Случайная

величина X - потребное

для

взвешивания

число гирь. Каждому ее вариан

ту X L соответствует

rvu

весов

тела. Всего

возможных весов ^

в ю .

Вероятность варианта

X I

равна

го*

* .

р(Ъ<,}- п,