Файл: Богданов, В. Н. Теория вероятностей (учебное пособие).pdf

Первую партию играют ей- и

Ь „

Вероятность выигрыша

в каждой партии

для каждого игрока равна

в

Игра продолжаемся до

тех порс пока

суш у выигрыша,

равную числу всех сыгранных партий,

Н&йти матема­

тическое

ожидание выигрышадля

игроков

и

С * дотачала игры,

Р е г е н к е„

•+ —

событие.,,

состоящее

в

томр

что

Обозначим J4& -

при встрече

игроков

с4 и Ь * игрок

Л

выиграл*

игрок

6

проиграл.

Аналогично для других комбинаций игроков0 Поскольку

все игроки

равносильны, то

вероятности всех

таких

событий

одинаковы

я равны

°

с

*£

. Случайная величина X

-

сумма,

выигранная

игроком

Я

{о т

равна числу сыгранных партий).

Её первый

вариант

--

2. получается

так;

ч*-»

4* —

- в первой партии

.

выиграл у

Ц>

0*во второй

о) 6

, ЛС

J2

партии, где

6

*

*’

ей выиграл

у v

о

Вероятность

этого

уступил место С f

варианта равна вероятности совпадения

( т . е в-

произведения)

событий

и jSt

с

На основании правила умножения

вероятностей-

получиш

Вто?ой

ваРиаЯ1? £*. *

11 п

с

л

у

ч

а

е

„ j i t

По правилу умножения .вероятностей

°

^

в *ий вариант

Х ь »

5:^ Ё ьЛ £

, S i

рей1Ь о $ 1

. Р^ ^ ) в (т\

• Четвертый

sa p ta T

*Ч« 7.Л& , l t

Л

Ж Jc J b

.pi4=(tf.

Аналогично

находим

« 8Р

. и

т 0До

чайной величины

X i

X ,

г

5

7

j

8 j

PCЧ )

( т

) '

—i

. —.

i

t

f

1

. 8

Третий

вариант 'Хъ * б - первые два позывных не приняты, третий

принят

р и э - о . ^ - о . ш

Зс„

4

5

6

7 I

8 ..

Н Ъ )

*

о д

о . г Ч ь

о,г* в.д.

о,гчл ъ

Искомое математическое

ожидание

равно:

лгос*

-------+ 0л

2 . гт1'®|?'

[ 0 при

% чО'

ч t

при

е

I 0 при

Х-71

Из условия

г .

находим С * ^

о

*%,

*оЭ

Е(Х) - 1

= | * • £ * * - I лс»к.

*

-с£

С

2> Ш - 1

- &

а

Геометрическая

вероятность ( к

§ б )

I . В любые моменты времени

промежутка \ равновозможны поступления

в приемник двух сигналов.

Приемник будет

забит, если разность меж-

ду зтрщи сигналами будет меньше ^

.

Определить вероятность

того,

что приейник будет забит/

Р е ш е н и е .

Обозначим:

X

-

время поступления первого сиг­

нала,

^

-

время

поступления второ­

го сигнала. Это есть случайные ве­

личины. Каждая из них изменяется в

интервале

од

0 .

до Т

. Поскольку

X

-

время поступления первого сиг­

X

нала ,

а

У

-

время поступления вто-

Ри/м %Л.\.

рого,

т о Х ^ Ч

.

Этому условию удов­

летворяют координаты точки (которая

изображает

систему

(Х ^ Л

;

лежащей

в треугольнике

(рис. 2. 6. 1) .

Его

площадь

i * .

Приемник будет забит, если

т .е .

Ц

. Этому условию

удовлетворяют координаты точки, лежащей ниже Прямой

Следовательно,

приемник

забит,

если

точка, изображающая систему

( Х / Л

,

лежит в области

OJtC.8)

. Ее площадь tT- ^

1

•

Используя формулу геометрической вероятности, находим искомую

вероятность:

1" — - %.Г-»

1

иг

»

т 1.

2.

На одной дорожке

магнитофонной ленты длиной 200

м записа­

но сообщение на интервале 20 м. На второй, независимо от первого,

записано аналогичное сообщение. Определить вероятность

того,

что

в интервале от 60 до 85 ы будет непрерывная запись, если начала

обеих

записей

равиовозмокны

в любой

точке от 0 до 180 м.

?

е

ш е

н и е .

Обозначим:

X.

-

начало первой записи, "j

- на­

чало второй записи (следовательно,

)• Каждая из этих случай­

ных зеличин изменяется в интервале

от 0 до 180 м. / Точка, изобра- -1

жающая

систему

( Х » 4)

*

лежит в

треугольнике ОчА& (рис. 2. 6. 2) .

Его площадь

l/r -~*U C2' .

3

интервале

от

60

до

85 м будет "зпре-

А*