Файл: Богданов, В. Н. Теория вероятностей (учебное пособие).pdf

4,

На отрезке

длиной

10, м

наудачу

выбраны две

точки.

Найти

Ч t

вероятность того,

что расстояние между ними меньше 5м.

Р е ш е н и е .

Обозначим:

X

~ расстояние от

левого конца от­

резка до ближайшей точки, У

-

рас­

стояние от левого конца отрезка до

более удаленной точки. Следователь­

н о ,) ^ ^

.

Эти случайные

величина

изменяются каждая в пределах от 0 до

10.Точка, изображающая систему

X

лежит в треугольнике 0бИЬ (ряс* 2.6 .4 ),

Его

площадь

UT - -I

iGз* 0

Согласно условию задачи, должно быть:

или

У

„

Это

требование" будет выполнено, если точка лежит в области 0jlc9>. Е§

площадь

• Используя

формулу геометрической

звроят-

•

••*•

ности,

находим искомую вероятность:

Г ' Ь ' -

^ 5

5.

На отрезке

наудачу поставлены две точки & я

S .

Найти

вероятность того, что точка

&

будет

ближе

к

точке

&Ь

(рис.

2 .6 .5 а ), чем к точке

Л .

Р е ш е н и е .

Пусть

длина

отрезка"

J3B равна

Ь

•

Обозначим:

&

&

X

-

расстояние

от

Л

до С-,

У

-

расстояние

от

до 3),

ь

Эти случайные величины изменяют­

Г

-<е-

ся

каждая в интервале от

0 до

Э(2ц,

. Поскольку

точка

С

может

РЦ, . %•

быть как слева,так и справа от точ­

ки ей

, то

система

( Х ,^ ) изобра­

жается точкой, лежащей в прямоуголь­

нике

(р и с. 2 .6 .5 6 ). Его

пло**

щадь

w - . t

. Согласно условию за-

ь

* дачи,

должно

быть:

^ - Х ( X

или

Pu»tД.(е $$■

. ^ *«ДХ

.

Это требование

выполня-

ется , если

точка,

изображающая систему,

лежит в

области

ОкА&Ъ .

Площадь

\Г

этой

области равна:'

i r z ^ e 1-

«

Т*

формулу

гео-

*5спользуя

- £ - А .

метрической вероятности, находим искомую вероятность: р - —

6.

Стержень длиной

Ь

наудачу разломан

на три части. На

вероятность того , что из трех получившихся отрезков можно постро­

ить

треугольник.

Р е ш е в к е .

Пусть точка К

-

бли­

жайшая к левому концу стержня точка

излома, точка

V

-

вторая точка

из­

U

Put.

лома (ри с.

2. 6, 6а)*

Расстояния

от

(Ь

С/

левого

конца стержня до

точек

К

и

Ь

ч »ж

J

обозначимсоответственно

X

й

х Ze~s

L

щ

.

С л е д о в а т е л ь н о , .

Эти

слу

%

у

чайные

величины изменяются

каждая

в

I

пределах

от

0

до

t

• Точка, изобра­

-*►£

жающая

систему

лежит

в

треу­

I

гольнике G<Ji&

(ри с,

2. 6. 66) .

pwut/.

.fc£

Длины получившихся отрезков равны:

X.

* У -Х

.

. Нз отрезков

можно построить

треугольник,

ес­

ли выполняется условие: сумма

длин двух

отрезков

больше

длины трет!

е г о .

Отсюда

получаем неравенства:

X.* 1 У ~ Х )) Ь ~:

,

Упрощая эти выражения, получим:

*] 7

Такие неравенства

выполняются, если

точка, изображающая систему

( Х , ^ ) , лежит в треугольнике

.

Используя формулу геометричео-

кой вероятности, находим искомую вероятность:

ю -

площадь

a tmjx,

,

\_

1

площадь

4 oj}£>

7,

На отрезке J 6

длиной 12 см наудачу взяты две

точки

С

и S)

(рис, 2 ,6 ,7 а ). Определить

вероятность того ,

что

длины всех полу­

чившихся

отрезков

не превосходят

5 см.

4

,

о

а

2>

Р е ш е

н и е .

Обозначим:

X

расстояние

от

J

до

,

-

М И М —

ши т ц - у .........nil

■ и "

i

Ч

ъ

*•}

«*•

t

расстояние

от

до

‘3)

•

Примем,

“

-------*■

—V

----------- ^

что буквой

0

обозначена

точка,

Р

4 Си.

ближайшая

к точке

J\ .

Отсюда

X ^ ^ .

Эти случайные

величины

изменяются

каждая

в пределах от О

до 12

см.

Точка,

изображающая

систему

(Х ^ л е ж н т

в

треугольнике

•OoU-j/

(р и с.

2 .6 .7 6 ).

Его пло­

щадь

.

Длины получи

-

шихся отрезков равны: Х>

Ч -Х , Ч -Ч

Согласно условию

задачи должно

быть:

Эти неравенства

удобно

предста­

вить: Х о

У 11-

, Они выполняются

если точка, изобража­

ющая систему

IX {У) ,

лежит в

треугольнике F4K # Его площадь

•

Используя

формулу

геометрической

вероятности, находим

искомую вероятность:

’

-Л*

vr

)6.