Файл: Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.pdf

F ( z , у, 0 = 0.

= / ( z’ У' f )

( I I . 7 . 3 )

У (0) = у0

которая

называется вырожденной.

При

исследовании систем

вида (И.7.1)

обычно решают сле­

дующие задачи:

\z{t, s),

у (t, г)}

1) найти условия, при которых решение

системы

(II.7.1) — (II.7.2) будет

стремиться

при

в - * 4 -0

к реше­

нию |z(t), у {t)\ вырожденной

системы (II.7.3);

раметру е решения (z ( t ,

г), у (О е)| с точностью 0 ( ел+1 ),

рав­

номерного

относительно

f e[ 0,

Г],

где п — любое целое

число.

Первая

задача была решена

А.

Н. Тихоновым [114], вторая—

III.

Система - ^ г = / ( ? ( у ,

0 . У. 0 . У (0) = У0 имеет единствен­

ное

решение

на отрезке

0 < ^ < 7 \

причем при

^ е [0, Т\

(у (О,

О 6 А гДе D — множество

внутренних точек области D.

Далее

потребуем, чтобы /(©( у,

0 .

У.

* ) 6 Lipy (у. D).

IV.

Система

вида

г*»/

4 f

= /Д

У. 4

т> ° .

(П.7.4)

где

у и /

рассматриваются

как

параметры,

принадлежащие об­

ласти

D,

называется

присоединенной.

Очевидно,

решение

тойчивой

по

Ляпунову равномерно

относительно (у,

t ) e D ,

т. е.

для любого

о >

0 существует 8 =

8 (а),

не зависящее

от (у,

t)eDr,

такое, что

если

2 ( 0 ) - ? (у,t)

< 8

(а ), ТО*}

zC O - ®(у, t)

<

а,

z (т) -> ф(у, t),

X

оо.

4 4

=

у», о),

г (0) = г°,

т > 0 ,

(II.7.S)

где 2°,

у0— величины,

входящие в условия (II.7.2).

Очевидно,

точкой

покоя системы

(II.7.5)

будет

точка

2г=ср(у°, 0).

Начальное значение z0

принадлежит области

влия-

л/

если решение задачи

(И.7.5)

удов­

ния точки покоя 2 = ф (у0, 0),

летворяет условиям:

1) z ( т)-*<р(у0, 0),

х->оо;

2) (z(t), у», o)eG,

- > 0 .

Теорема

11.14

(А.

Н. Тихонов).

При

выполнении

условий

I — V

найдется

такое

е0, что

при

0 < е < £ 0 решение

z ( t , s)v

у (t, в)

задачи (II.7.1) — (II.7.2)

существует

на отрезке 0

Это решение

единственно и удовлетворяет предельным равенствам.

limy(^, e) = y(t),

0

е-0

lim z { t ,

е) =

z{t) =

ср(у (^), t),

0 < £ < 7 \

е-0

Доказательство

этой теоремы

подробно

изложено

в [113], по­

обстоятельство, что решение

у (t, в )

стремится при в

0 к ре­

шению

у (t)

вырожденной

системы

равномерно

на

отрезке

0 < * <

1\ а решение z { t , в )

стремится при в

—>0

равномерно к

решению z ( t ) вырожденной системы лишь на отрезке

где

t*

> 0.

Это

связано

с тем, что

при

t =

0,

как

правило,

т, у

*) Заметим,

что

решение z

присоединенной системы

(II.7.4) — функция от

и t.

Однако здесь

зависимость от параметров

у и t не указывается.

z ( t ) не

может

служить

приближением

для

решения

z ( t , г).

В этом

случае

говорят,

что

в окрестности точки

t =

О

имеется

зона

пограничного

слоя. Естественно поставить вопрос о возмож­

ности

построения

равномерного на всем

отрезке

O ^ t - ^ T

при­

ближения как для

у (t, е ) , так и для

z (t,

г),

и более того,

найти

асимптотическое разложение

функций у (t,

е)

и z ( t y е)

по малому

параметру е, равномерное относительно ^е[0,

Т].

Один из таких алгоритмов был

разработан А. Б. Васильевой.

Асимптотика А. Б. Васильевой

При построении

асимптотики

предполагаются

выполненными

более сильные требования, чем в теореме

А. Н. Тихонова, а

именно:

F (z, у, t)

и f ( z , у, t)

(п +

I.

Функции

считаются

2)

раза

дифференцируемыми по всем аргументам в области G.

II. Требования II, III и V

теоремы

А.

Н.

Тихонова

остаются

без изменений.

III. Требование

IV об

асимптотической

устойчивости

равно­

А (<) =/- , О о (*),

о .

det \FZ(t) - X Е] =

0.

Требуется выполнение условий

R e \ (t) < 0 , 0 < * < 7 \

i = T T n .

Введем обозначения

х =

\ у ) '

Т = ^ -

Асимптотическое разложение решения задачи (II.7.1)

— (II.7.2)

согласно А. В.

Васильевой

ищется в следующем виде

[15]:

x ( t , e) =

x ( t ,

s ) - f Пх(х,

е),

(II.7.6)

где

_

_

__

_

х (t , е) = л:0 (£) -j- £

( 0

+ ••• + 8* Xk (t) + ••ч

(II.7.7)

П х (т,

е)

= ГГ0 х ^х) -}- еТТх (х) -j- . . . -|-

х (т) -j- ... . (II.7.8)

Подставляя

(II.7.6) в (II.7.1),

находим

Правые части уравнений

(II.7.9)

запишем в форме

F = F

+ IIF,

/ = / + П / .

только для функции

F):

F ( z + T l z ,

у + Пу,

t )

=

F(~z(t,

е), у it,

е),

0

+

+

[F ( z (те,

e) +

Tlz(x,

e),

у (те, s)

+ Пу (т,

e), те)

—

— F ( z (те,

e), у (те,

е),

те)] = F +

П/\

Учитывая (II.7.6), представляем теперь F и П/7 в виде рядов по

степеням

е:

1)

F = F ( J z ( t ,

е),

у (t,

г), t )

=

F ( z 0{t) — sz i(t)

- f ••• +

-f

eft

(t) -f

■

У0 ( 0

£ Ух[t)

+

.. •+

£* yk (t)

"f

••,

t)

=

=

F(~z0 (t), y0 (t),

* ) 4 - е | Л ( 0

M O

4-^'>(*))'i(*)]

+

4 - ... 4 -

£*

(*)

^ ( 0

+

(О У* ( 0

+ F k ( 0

]

+ •••!=

— F 0 4~ £ F\ 4~ •••4~ £

k ~r ... '•>

(II.7.10)

здесь

матрицы

Fy V) =

d F l

\

dyj

)

вычисляются

в точке

|zQ{t),

yQ(t),

tfj,

a

F k (t)

— известные

век-

тор-функции,

выражающиеся через функции

z ^ t ),

У*(0.

* =

0,

k — I;

2 )

T I F = F ( г

( т е ,

г )

4 - П

г (

т ,

е ) ,

у

( т е ,

е )

ф - Н у

— /7 ( ^ ( т е ,

е),

у (те, е),

те)

=

F ( z 0 (x,

г)

4- е z t (те) 4-

... - f

в* z k ( т е )+

+

... 4 - П0г ( т )

4- eHj z (т )

4-

...

4-

е* П Л z (т)

4- . . . ,

Уо (х£) +

£ У1 (Т£) +

••• +

£* yk(Х£) +

... 4- П0 у (т) - f

е п ху (т) 4-

+

\е.FZ

( '

с )

^

£

(Fхy) ( т+)

П у 1(

х

)

+

(

х

)

]

+

. .

. - }

-

+

ek [Fz

(

х

)

I

I

ft г

( Fyx ) ( x +)

I

I

ft

у

( GkX ) + (

x

)

]

+

.

. .

=

=

П / + П / + . . . +

П ^ + . . . ;

(II.7.11)

здесь

матрицы F z (

x

)

и F y ( x )

вычисляютсяв точке U

o

(

0 )

+

I T

0 2 : ( x

y0 (0)

-f- П0у (

x ) 0),

а вектор-функции

Gk (

x ) выражаются

через

функции П£л:(х),

i =

0,

k — 1.

Таким образом, систему (II.7.9)

можно

представить так:

+

^

= ?

+ п ^ ' е^

+ ^

г

= £/ +

еП/-

("-7-12>

Подставляя в эти уравнения разложения (II.7.8)

и

(П.7.10) —

(II.7.11)

и приравнивая

коэффициенты

при

одинаковых степенях

е (причем отдельно зависящие от t

и от х), находим

0 =

F 0 =

F ( z 0 (t),

у0 (t),

<),

-Щ

р -

= / 0= / ( 2 0 (О;

(Н.7.13)

=

П0F = F

(

г

0

( 0+) П„г,

у

0(0) + П„у, 0

) -

- F { z o ( 0 ) ,

J„(0),

0)

(II.7.14)

^п0у _ Q

=

F * =

Fz (t) z k + F y (t) yh + F„ (t)

(II.7.15)

4 е

г=

Л =

Л

« )

* *

+

7

,

<<) у ,

+

Л

(<>

dx

. (II.7.16)

= пk-l f

dx

С

помощью уравнений (II.7.13) — (II.7.16)

можно последовательно

определить функции y^t),

z t (t), П; у и Пt z,

если

присоединить

к ним определенные начальные условия.

Для

этого

рассмотрим

равенства

г 0 (0) Т" еz x(0)

-j- ... -f- П0 z (0)-f-

ent z (0)

4-

... =

z

,

Уо (0) +

£ У\ (0) +

•••+

П0 у (0) -f- ent у (0) +

... =

у .

(II.7.17)

Отсюда

получаем

i 0 (0)

+

П0.z (0) = 2°, у„ (0)

+

П„у (0) =

у0.

(Н.7.17')

5 —217

65