Файл: Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.pdf

£M * , y i ) - e « 2 ( ^ y 2)||=

ej* {X (s, Vi)

X (s, y2)

—

- ^ о ( У 1 ) + ^ о ( У 2) 1 ^

c 2ZX0 Цу, — y2||.

Легко убедиться в том, что функции s2u2 (t,

у),..., в*

uk (t, у)

dl 1Х < A f ( i = 2 T k ) -

д у 1

1

Рассмотрим вме:те с уравнением

(II.5.20)

укороченное

урав­

нение

%

= ^ , ( у )

+ г2 Г1( у )+ - - - + е* Г ,_ 1(у )+ Е*+1 К,(у).

(II.5.29)

Пусть

yt {t)

и у£ (/) — решения

систем (II.5.20)

и (II.5.29) со­

ответственно, удовлетворяющие одному и тому же

начальному

условию У£ (0)= у£ (0) =

х 0.

Очевидно, что

х {t) — У (О

£Mi

у)

+ • * • + £* uk (^

У)

является

решением

системы

(II.5.18),

а

* ( * ) =

У (0

+

(*. У)Н------ К £* и* (*,

у)

— асимптотическим

приближением

порядка

(&-}-1)

к точному

решению.

Оценим

разность

II x {t) -

х (t) (I <

|у (t) — у (t)|+

р |у (t) -

у (*)] =

=

(1 +

р )|| У {i)

~

У U)||>

где

[х — сумма

всех

констант

Липшица

для

функций

BUV в2 М2,..., Вk .

Положим

_

В (0

=

* « - Л М .

Тогда

функция

u (t) является

решением

уравнения

du

_

е У 0 ( У (t) + zk u) — е Г ( " у ( 0 )

,

. 2

У г ( у +

е* и ) -

И ( у )

+

= -------------------I*-------------------+ £

7*

+ .*

+ . [ ? s (у +

в ) _ ? щ +

+

£ Уit (Л У -г £* и,

£) — Ук (у + £*^)],

и (0) = 0.

Произведем

замену:

Т =

to,

du

Y0 (У + £* м)

~ -

Г0 (у)]

£ k +

[ ^ (У +

£*

— У\ (у) J £

fe+1-f"

d i

Н--------Ь [ Гй_!

(у + £* и) — Yк _ х (у )] е

1 + Г ’й( у + е * и )

—

“ Гл( у ) +

Yk (t,

y +

ek U , e ) - ? k (y

+

ek u),

[(11.5.30)

\\u£ ( t ) - u 0(t)\\<ri,

(И.5.31)

где

uQ{t) — решение

уравнения

du

W0{t, x, h),

(II.5.32)

удовлетворяющее

начальному

условию

w(0) =

0;

WQ{t,

x , h)

определяется соотношением

+ £«)-к„

5

т

l i mf

e

= j

^ o (s,

y,

u) ds.

ds

||и (*)|| < Ч

т. е.

_

I у (0

у(*)|| < ^ k ,

а искомая разность оценивается так:

\ \ х а ) - х ( 1 ) \ \ < ( \ + ^ щ к .

Значит, справедлива следующая теорема.

Теорема НЛО. Пусть функция X ( t ,

х) определена

в области

Q { t ^

0, x g D\

и пусть в этой области:

1)

X (t, л:)

непрерывна по t, а по х

имеет ( £ — 1)

ограничен­

ную производную

dxi

X

'

2) предельные

соотношения

(II.5.24),

(II.5.25)

выполняются

равномерно по yeD.

Тогда для любого &> 0 и Z, > 0 на отрезке

0

бу­

дет выполняться

неравенство |x(t) — х (/)|| <

.

4.

Приведем

еще

один алгоритм

[112] построения высших

приближений для систем вида

х =

еХ (t,

X (0) =

Х0.

В качестве первого

приближения

берется решение ус­

редненной системы

Si =

e * 0(S,),

?!(0) =

Х0,

X Q(x)

=

1

Т

lim

х) dt.

Т-+оо

v

v x {t)

=

е j [X (х,

(т)) — *

0 (*t (х))] dx,

их (t) =

s

d*o (5i (0)

и1 (^) + е

£l (t) +

( 0 = ^-1 (*) +

(*) +

uk - 1 (*)»

где

( 0 = е J* [ *h-(iт (>х ) )

—х ( х ’

^ —2 ( х°)а+- 2 ( х ) )

0*о (^i (т))

«*-2 <Т)

dx,

Имеет место следующая теорема [112].

выполнены

Теорема 11.11. Пусть в

области Q { t ^ 0, x e D }

следующие условия:

1)

функции X (t, х),

дХ

х^- непрерывны по t

и удовлетворя­

ют условию Липшица по х

X ( t , x)eLipx (N,

Q),

д х $ ; х)

6 LipJ N , Q);

2)

в каждой точке x e D

существуют

пределы

lim 4- f X (t,

x) dt

= X , (x),

ax

=

Mm 4-1 дХ(^

я>

dt.

т - ~ т I

't~ ~ t

X 0 (x)eLipX(N, Q),

dX°d[ f

e LiPjr(N,

Q);

3)

решение

усредненной

системы

для

%\{t)

опреде­

лено

для

всех f > 0

и лежит,

как

и Ik {t),

в

области

D

с

не­

которой р-окрестностью,

причем

| | *o (S i(f))| | < W ;

4)

если

^ =

© (t, с), ср(0,

с)

=

х0 — общее

решение

усреднен­

ной системы, то

дер

/дер \

1

дс

( д с

)

Тогда для любых tj> 0, Z, >

0

можно

указать

такое

е0,

что

при £ < в 0 на отрезке

0 < ^ < Z s -1 будет выполняться неравенство

<

1

(1

t]k eNL

const.

+

l) ft-И

Подробное

доказательство

этой

теоремы

изложено

в рабо­

те [112].

§ 6. Усреднение систем с быстрыми и медленными

переменными.

Асимптотические разложения

Система

вида

х — г Х (t , х, у, е)

(П.6.1)

У = У (t ;

х,

у) -f

zF{t, х, у, в)

называется

системой

с

быстрыми

и медленными

переменными

(здесь

х = [х г , ..., х п } — вектор

медленных

переменных,

у =

= {У1 >•••> Ут) — вектор быстрых

переменных).

Полагая

в (П.6.1)

е = 0 ,

находим

* = 0 ,

y

=

Y { t , x , у).

(П.6.2)

л: = const,

у =

ср(£, х,

с ),

(И.6.3)

где с — произвольная постоянная.

Тогда

систему

(И.6.1) путем

элементарного преобразования

можно привести к

стандартному

переменных

у - * с. Легко видеть, что в новых

переменных

сис­

тема (II.6.1)

примет

вид

х = е Х

(t , X, ср (t, X,

с), в ) ;

с =

W * * * ’

с) ' г) — ^ х & х * ?. £)|-

Обозначая

правую

часть

второго

уравнения

системы

( I

I . 6 . 4 ) »

через zC(t,

х,

с, в )

,находим

х = еХ (*, х ,

« (t,

X,

с), в ) ;

с =

вC(t,

х ,

с ,

в ) .

Полученная таким образом система (II.6.5) является системой

стандартного вида. Поэтому доказанные выше

теоремы

об

ус­

реднении для

стандартных

систем

на

конечном и бесконечном

промежутках

могут

быть естественным

образом

распространены

ными переменными вида (II.6.1).

Рассмотрим систему (II.6.1). Пусть

для

этой

системы

постав­

лена задача Коши

х(0) = х 0,

у (0) = у 0.

Для системы (II.6.5)

получим следующие

начальные данные:

л: (СП = лг0,

с (0)

- с0,

где с0 определяется

из

уравнения

Уо = ?

(0 , -Ко,

с0).

Пусть существуют

пределы

1

т

х, ср ( f

, x t

с), в

)dt = X 0 (x, с , в ) ,

(II.6.6)

l i m

yX it,f

П

т

1

т

с,

в ) dt

=

С(х0, с ,

в ) .

(II.6.7)

у

Г

С (t, х ,

? = вЛ’о (5, Ъ

е),

Ч = £С 0 (S, У, е),

(Н.6.8)

S (0) =

х 0,

у\(0) =

с0.

Согласно теоремам

об

усреднении

в

стандартных

системах,,

для любого 8 > 0

можно

указать

такое

в 0 , что при в

< ена0 от­

резке 0 < t < Z,s_1

будут

выполняться

неравенства

II* (?) -

М0Ц <

8.

|И <)-1(<)||<8.