Файл: Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.pdf

< X (|U (<) _

5(t) |-i- ||t« ) -

1\(t) ||]

< 2X8.

Итак, на отрезке 0

Z.s-1 для

системы

(П.6.1) с быстрыми

■Хо (? , V, е ) .

rl =

( t , q, vj,

в ).

(II.6.9)

Сформулируем для этого случая одну из возможных

теорем

об усреднении.

X

(t, х,

Y (t,

Теорема

11.12.

Пусть

функции

у, в),

ас, у)

и

F (t, х, у, е) определены и непрерывны в области

Q { t ^

0, x e D lr

yeD2, 0 < s < о}

и пусть

в

этой

области:

1) функции X

и F

ограничены

и

удовлетворяют

условию-

Липшица

по а:

и у;

2) решение у =

® (t , х,

с)

вырожденной

системы

определено

в области

А { £:>0,

acgD15 cgP},

причем y(t,

х , c)gD2 при (t, х, с)еА

и частные

производные

dyjdx.y

д у 1/дс.

ограничены

в А и удов­

летворяют условию Липшица по а; и с, а в A det (д<?1,дс)~1= а 2>

0;

3) в каждой точке области

D x х

Р равномерно относительно £

существует

предел

lim

X (t, АС, Ф ( С

АС,

с), в)

dt = X Q( ас, с,

в).

(II.6.10)

Т-+00

а функция

Х 0

ограничена

и

удовлетворяет

условию

Липшица

по ас и с;

4) решение {£(£),

? (0) =

ас0,

tj(0)

=

c0 частично

усред­

ненной

системы

-1

? =

В ^ о

(5,

7j,

в ),

(II.6.11)

¥ (<,

Е,

т)),

дер

5, ? (<, <р,

7)), в)]

’ “

' Г *

[ F( t ,

определено

для всех

^ > 0

и лежит

в области D XX P

с

некото­

рой p-окрестностью,

и L > 0

Тогда для

любых

8 > 0

можно указать е0,

такое,

что

при 0 < е <

80

на отрезке

0 < t

< Z,e-1 будут

выполняться нера­

венства

И * ) - 5 ( * ) | | < 3 ,

||у — ? (t. S,

Щ < * .

Эта теорема

не требует

специального доказательства,

так

как

теоремы

и, кроме того, пусть:

x e D x, сеС

1)

равномерно относительно

/ > 0

,

и в

существует

предел

t-

lim -!fr X (^, х, с? (/, х, с ),

в) dt

=

Х 0 (х , с,

е),

(II.6.12)

Г-оо 1

равномерно асимптотически устойчиво

равномерно

относительно

£6 [0,

3j .

Тогда

для любого

0 < § < р можно

указать s0,

такое, что при

s < £0

для

всех

t^> 0

будут выполняться неравенства

II* (*) -

* ( Щ < 8, ||у It) - ? (*,

5 (t), ч (*))Ц <

Z= eX0 (Z, е).

(11.6.13)

Согласно приведенным

выше

рассуждениям, решение \(t )

системы

(II.6.13) на отрезке

0 < t < Z,s-1 будет

как угодно

точно

(при малом е)

аппроксимировать

медленную

переменную x { t )

системы

(II.6.1).

Более того,

системы (II.6.1)

и (II.6.13)

можно

усредненной

системы

(II.6.11)

и

непосредственно

установить

близость решений х и \ систем (II.6.1) и (II.6.13).

Этот

случай

рассматривался в

[ 19j .

Мы не будем

останавливаться на

дока­

зательстве этого

факта.

Наконец, еще раз похчеркнем, что методом

вариации

произ­

вольных постоянных система (II.6.1)

с быстрыми

и

медленными

переменными

сводится

к системе

стандартного

вида

(II.6.5),

ус­

редняя которую,

мы

приходим

к

выводу, что

усреднение

в

системах с быстрыми

и медленными переменными следует выпол­

Разумеется,

если для

(II.6.1)

начальные

чанные

заданы

при

t =

t0 и

общее

решение

(II.6.3)

записано

в форме y = y(t,

x t

i 0,

Уо),

У (to, х,

*о, Уо) = Уо. т0 среднее следует вычислять по

формуле (II.6.6)

вида (предполагается, что результат

не зависит

от

параметров t0, у 0)

рования системы

(II.6.1). Идея асимптотического

интегрирования

заключается

в том,

чтобы в системе

с быстрыми

и медленными

переменными

заменить переменные таким образом, чтобы в новых

переменных быстрые движения

были

отделены

от медленных.

Эта идея разделения движений

широко

использовалась в рабо­

тах

Н. М. Крылова и

Н. Н.

Боголюбова

[7—9,

78].

Примени­

тельно к системам с быстро вращающейся

фазой эта

идея под­

робно развита в работе [9|.

Итак, выполним в (II.6.1)

замену переменных

х — ?

£Ut (£,

^iXj-Ь е-й2 (?,

yj) -f- ...

(II.6.14)

У =

Д +

svl (S,

rj) + s2t>2 (;,

tj) -f ...

таким образом, чтобы система (II.6.1)

в новых переменных име­

ла

вид

£ =

вАх(£) 4- £2Л2 (£) + ...

(II.6.15)

1

ш(£) + г&\ (?) + £2В 2(?) 4- ...

здесь функции

ик , “Vk ,

Ак ,

В к ,

k =

1,

2,

3, ...

подлежат опре­

функций

ик , чзк , Ак ,

B k \

ди.

(Н.6.16)

(О(5)

dq

•О)

B k (h),

k — 1,

2,

здесь

— известная

функция, зависящая

от предыдущих при­

ближений до k — 1 порядка;

— известная функция, зависящая

от предыдущих приближений до k — 1 порядка и от uk .

При

k — \ система

(II.6.16)

имеет

вид

тогда

ъ

(*■ Ч) = тдёГ J

ГА &

ч °) -

Л1 (W dyi +

А ( А

По

где hx (£) — произвольная

функция.

Это

говорит о том, что по­

строение

асимптотического

разложения

(II.6.14) не однозначно.

Такое положение характерно для асимптотических теорий.

Выбор функции Д

может

быть выполнен по-разному. Будем

считать, что Д = 0. Из

второго уравнения

(II.6.17) находим

ъ г

B ^ =

- k S

У (5,

ч

0)

(&. п)

d -ц,

1

ч

ди>

•°i& п)

I

г а ,

ч о ) +

их

В х(£)

d~r\.

w (£)

Ж

По

Аналогичным

образом

рассматривается

система

(11.6.16)

при

k = 2, 3,...

и т.

д.

Системы с медленными и быстрыми

переменными примени­

тельно к задачам небесной механики исследовались

Е. А.

Гре-

бениковым

[21—25].

e J w

= F(~z < У’ о . -%- =

/ ( * ’ У’ 0 .

(II.7.1 >

где е >

0 — малый

параметр, z

и у — п-

и /я-мерные

векторы со­

ответственно. Для

системы

(II.7.1) поставим задачу

Коши

г (0,

в) = z°,

у ( 0 , е ) = у ° .

(П.7.2)

Обозначим

через

z(t,

в)

и

y ( t , в)

решение

задачи

(II.7 .1)—

(II.7.2)

на

отрезке

Полагая

в (II.7.1)

е =

0,

получаем

систему