Файл: Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.pdf

Уо(0) = уо, П0 у (0) =

0,

П0z (0) = z° — z 0 (0).

(П.7.18)

Следовательно, согласно (Н.7.14),

п о У ( ^ ) = 0 ,

х > 0 .

Далее

^ f = F (z 0 (0) + П02,

у0,

0), г »(0) = «р ( у0, 0).

(11.7.19)

ледней

положить

z =

z (0) + П z. Точкой

покоя системы (II.7.19)

является

асимптотически

устойчивая

точка

n oz = 0 , а

начальное

значение

n oz(0) = z° — z0(0) принадлежит области

влияния

этой

точки. Поэтому n oz(x)-> 0

при х -> оо.

Далее

имеем

zt (0) +

n tz (0) = 0,

у х(0) + П,у (0) = 0.

(II.7.20)

Из

(II.7.15) находим

т

(т) =

n oyt (0) +

J

П0f ( s ) d s .

о

Так

как

предполагается,

что

пограничные

функции

стремятся

к нулю

при х-*со,

то

из

этого

равенства

получаем

оо

П1У (0) = -

J П0/ ( s ) d s ,

т. е.

о

оо

оо

П!У(т) =

—

у х (0) =

(5)ds.

f П0/ (s) ds,

J п0/

х

0

Затем

полагаем

(0) =

— z x(0).

Для

нахождения

функций

П *У М ,

zft(*),

Пk z ( t ) ,

k = 2 ,

3, ...

используем следующие дополнительные условия:

оо

У *(°) = J K k_ l f (s)ds,

n ft z(0) =

— zk (0),

о

п *

-

У х ) (

-0 ,

х

о о .

При этих

условиях

члены

асимптотического

ряда

(II.7.8)

будут

определены.

При

выполнении условий

Теорема 11.15. (А. Б. Васильева).

I—V найдутся постоянные

е0> 0 и с >

0,

такие, что при 0 < е < е а

отрезке

единственно

и удовлетворяет

неравенству

II х ( ( ,

* ) - X n (t,

е)!||

i 6 [О,

Т\,

где

п

*„ (< , о = 2

t * p t (<) +

n ^ ( o l .

ft= 0

L

J

Доказательство

этой теоремы весьма

подробно

изложено в

работе [15].

Заметим, что рассмотренная

методика

построения

асимптоти­

§ 8. Метод возмущений С. А. Ломова

для сингулярных задач

В этом параграфе излагается метод

возмущений, развитый

ний различного типа сингулярных задач (обыкновенные

диффе­

ренциальные уравнения, уравнения

в частных производных, ин­

тегро-дифференциальные уравнения). Мы

изложим

эту

теорию

для систем

линейных

дифференциальных

уравнений

с

малым

параметром

при производной.

1.

Формализм построения асимптотики по С. А.

Ломову сос

тоит

в следующем. Изучается задача

£ ez' =

A0 (a ) z +

Д (А') у +

h, (a ),

z (0,

е) =

г° 1

\У' =

A 2 (x ) z +

Аг (л)у +

/?2 ( а ),

у (0,

е) =

у 0 J

при

£

-f 0. Здесь 2

и у — векторы

размерности

п и т

соответ­

ственно,

матрицы At (а) и векторы hk (а) предполагаются диффе­

г

Л (*)

Л, (А)

/г, (а)\

и =

А (А, г) =

h (а , в) =

У

еА2(х) вА3(а )

eh2 (х)1

запишем (II.8.1)

в виде одного уравнения

L zu (а ,

е) =

ей' — A (a , в) и =

й (а , б),

и (О, £) = и°. (II.8.2)

=

0

=

s),

i = U n

(H.8.3)

и

рассмотрим

некоторую

„расширенную1 функцию

и(х,

t, s),

t = * ( t v ..., tn) y обладающую свойством

«(*>

s)| и = ь

(х в)==и{х,

в),

(Н.8.4)

т. е. сужение функции и ( х ,

t, в)

при

условии

(II.8.3)

должно

совпадать с и ( х , г)-решением задачи (II.8.2).

Дифференцируя соотношение (Н.8.4), находим

а ' (* . г) = | т + - r D <“ • D <= 2 М *>

г = 1

Тогда для

определения функции

гг(х,

t,

в)

естественно

поста­

вить следующую задачу:

L'U =

-\-Dtu — Л (х, в) а =

/г(л",

е),

w (0, 0,

в) = гг0.

(II.8.5)

Задача

по определению функции

а (х,

в) из (II.8.5) являет­

ся

уже регулярной

по в при

в -> 0,

так

как

при

в =

О

задача,

получающаяся из (II.8.5), разрешима.

Однако при в -> 0

в наших

условиях

|tt |-> оо,

т. е. сингулярность

по в перешла в сингуляр­

ность по t. Поэтому задачу (II.8.5)

необходимо

решать

во

всем

пространстве переменных

t.

Учитывая это замечание, будем искать решение (II.8.5)

в ви­

де обычного формального ряда теории возмущений:

и ( х , t,

в) =

2

(•*’

*) =

UQ(*» 0

+ Ш\(* . о

+

(II.8.6)

i= 0

u.(x,

t) = {Zt {x,

t),

yt (x,

t)}

L zq==Dt z0 - А0 (х) z0 = h{ (х) +

Л, (*) у0,

z0 (0, 0) = z°

Dt У0

=

°.

Уо (°> °)

= У°

, (II.8.7)

а для функций z k (х,

/),

yk (х,

t ),

k > 1

—

Lzk = Д (х) yk -

дг

f Zh, 0f 0) = 0

Dt Ук ^ A (x ) z k-i +

Л (*) Ук- 1 - ~ ^ Г + И к - М \

уA° . 0) =

(II.8.8)

°

_

(Л2 (л:),

A = 1

к

иtk (X) t ) 2 )

£ iif (л:,

t) -f- £

^k+i

i=О

^к+\

^

У*-И

^)}

при

е) является

формальным

асимптотическим решени­

и гк (•*» £) — U t k ( * ’

£) It t =ф£ ( х , г) •

Задача

1. В области

ф | 0 < л :< я ,

|^|< оо,

£ = 1 ,л |

опре­

делить функцию z ( x , t ) = [ z x{x,

t),

..., z n(x, £)}

из условий

1)

L z ( x , t) =

D tz — A^(x)z =

hx{x,

/),

z(0, 0)

=

z°;

(II.8.9)

2)

если

все R e X ^ X O ,

то z ( x ,

t)

ограничена

при

|-►°°

Здесь

D t = M * )

^

■" К (*)

t =

( t v

...,

tny

a \ (x )%•••»

^a (x) — простой

спектр

матрицы A0(x)

(все

корни

Xt (л:) различны и ни один из них не равен нулю).

Найти

соот­

ветствующие ограничения на функцию hx (х, t).

___

Задача

2. В области

Q | 0 < * < a ,

|^|<оо,

i — 1, nj

опре­

делить функцию

у ( * ,

^) =

( (-дс, t),

...,

ут (х, t)}

из условий

1)

D ty(x, t ) = f l (x,

t);

у ( 0 ,0 )

=

/ ;

(II.8.10)