Файл: Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.pdf

< f x{ x , t ) ,

y ] ( x , t ) > = 0,

i = \ , m ,

где

у* е Ker D*t с

Y*.

Н е о б х о д и м о с т ь .

Пусть задача 2

разрешима в

простран­

стве

Y. Тогда уравнение (II.8.10) должно

иметь

решение

вида

y =

B { x ) e * + g ( x ) ;

у ( 0 , 0 )

= / .

(II.8.18)

Следовательно,

должно

выполняться тождество

^ У = Л ( ^

*)•

(И.8.19)

Вектор у , как

вектор пространства

Y, запишем

так:

у (х , t)

= { b x{ x ) e \ ...,

Ьп( х ) е п , # (* )};

здесь

b t (x), i ~ 1,

п — вектор-столбцы

матрицы

В {х ).

Применив к каждой компоненте этого вектора оператор

D t ,

получим вектор из

пространства

Y

{ М * ) \ С * )

е \ ...,

Ьп{х)\п (х)

е п, О},

(II.8.20)

который в обычной записи будет иметь

вид

D ty = В (.х) Л (х)) е .

/ = (0,

..., 0, с.{х)\, i — 1, т,

Д1.8.21)

п раз

где с1(х),

, ст(х) — т

линейно независимых

векторов прост­

ранства

С“ .

Л (*. t) = И (х) е* +

{х), < / р у*. > = 0, i = 1, т.

Имеем

у = с, {x)A~\l (л:)) е* + g {х) £ Y,

где g (х) — произвольная

вектор-функция.

Начальные

условия

у (0, 0) = у0 удовлетворяются за счет выбора величины g (0).

Теперь рассмотрим задачу 3. Для удобства введем обозначе­

ние vk = ср.

Теорема

11.18.

Если hi (x,

t)e'Z,

i =

1,

2,

то в

пространстве

элементарных решений

Z однозначно

разрешима

следующая

задача:

L? (х, t)

=

h { (х,

t),

ср(0,

0)

=

ср0,

(II.8.22)

< h { ( x ,t ) ,

т*

(х,

t ) >

=

0,

(П.8.23)

<^Ь;(х, t

)

+

0 ,

m \ ( x , t ) y

=

0,

т. s Кег Z.* с

z",

(II.8.24)

т. е. однозначно разрешима задача 3.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно

теореме

задача (II.8.20)—

(И.8.21) имеет решение

ср(х,

t) =

В (х) A (v (л;)) е

+

D (х) с

~

g (х) 6 Z,

(II.8.25)

причем значение произвольной функции v(x) при

х = 0

будет

однозначно определено из начального условия

ср(0,

0) = с р ° .

Пусть ,и(0)

= ‘О0.

Учитывая,

что

h2 (x, t) +

= [В {х) A (v{x)) + В ( х ) Л ( о ( х ))] е * +

= {[^ 1

^ 01 ( * > + b l ( X ) V'l ( * ) + < * [

(X) J r F 21 ( * ) ] е *Х» •••

••• ’

\b n (■*) Vn ( х ) + Ь п ( * ) и п ( Х ) +

d n (х) +

+

+ F n, bt ) — 0, i — 1, n.

где

Л0 (л-) о' + А, (х)

v + f ( x ) =

0,

(Н.8.26)

Aq(л:)

= d ia g j^ j,

b x j,

..., ^

^я)}*

Л ,(х )

=

diag{(*;

,

ft') ........(*1,

**)}■

/ { a v

К ) \

/(•*) =

VK

a a r

i =

Г

1, «-вектор-столбцы

матрицы D

(д:) + /^ (д:). Напом­

ним,

что

здесь

Ь. (х) — собственные

вектор-матрицы

А0(х), а

Ь* (х) — собственные

вектор-матрицы

(Л 0(х)) .

Так как ^bt (х),

Ь*(х)^=£ 0,

то

|А0(л')|=£0

и

уравнение

(П.8.26) однозначно разрешимо при задании начального

условия

v (0)

= v°, т. е. решение

(II.8.25)

однозначно

определено.

Единственность

этого

решения

устанавливается

следующим

образом.

Пусть <pt

и <р2 — Два решения задачи (II.8.22) — (II.8.24).

Тогда функция ф=

ср, — ср2 будет

удовлетворять

условиям

L ’h (х ,

t) — 0,

6(0,

0) =

0,

:пг, т (л\ t) > = 0,

i = 1, п.

Отсюда следует,

что

Ф(*, t) =

В (*) Л (v(x)) е\

А0 (х) v

-f А,

(*)

v =

О,

v (0)

= О,

т. е.

ф(х,

t) = 0.

Теорема

доказана.

Исследуем задачу 4. В этом случае справедлива

следующая

теорема

[67].

Теорема 11.19. Если f t {x,

t ) e Y ,

i =

1, 2,

то

в

пространстве

элементарных решений Y однозначно разрешима задача

Dt Ук (■*»

О =

Л (х » *).

Уи (°* °) = У°»

(И.8.27)

< / i(^ ,

0*

у!

(*>

t ) > = 0 ,

(II.8.28)

=

0.

г =

1,

т\

у* е Ker

с: К*,

(II.8.29)

> 1 /

yk (x, t) = B

( x ) e

+ g ( x ) ,

(II.8.30)

где произвольная функция g ( x )

при

ас = 0 должна

удовлетво­

Полагая теперь

/ 2 (Ху t) = с2 ( х )е * + g 2

(х),

получаем

\ Л + -£г> У* / = \ с 2 (х)е* +

s2(х) + в (•*)е*+

g'(x), у]/ =

= \ М г {х) е г -f- g W +

у ] У = 0у

1, т ,

М х ( ас) = с2{х) - f В'(х).

Следовательно,

g' (х) + g 2 (*)

= 0 , g (0)

= g°

ностью до

членов,

содержащих

е ^

и

являющихся

сужением

элементов

пространства Z X Y при

tt =

<j>r

Далее

в

работе

[67] устанавливается

оценка (в

некоторой

норме)

||

U(АС, е )

tl&k(АС, е) || -^.

£.й+1

*1 {X, е)

+

1=1

Рассмотрим вопрос о построении

приближенных решений

дифференциальных уравнений,

содержащих

малый

параметр, с

помощью итераций (последовательных приближений)

или

рядов,

опираясь на методы и идеи А.

М. Ляпунова. Основная

исполь­

зуемая нами идея Ляпуонва — применение

для

доказательства

сходимости строящихся приближений или рядов

мажорирующих

функциональных уравнений, которые

мы называем

именем Ля­

где /

=

... , / я

) и и = ( uv ..., ип) — векторы, е — положи­

тельный параметр.

Векторная

функция f (и, е )

определена

при

« > 0 ,

е ^ О , непрерывна по е ,

непрерывно дифференцируема

по

и в этой области и принадлежит классу положительных,

моно­

тонно возрастающих, нелинейных и выпуклых

функций

и

при

этом

/(О,

0) = 0,

0) =

0, / (0, г) + 0 при е ф 0.

(11.9.2)