Файл: Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.pdf

Необходимо, строго говоря,

добавить также

условие

невы­

рожденности

системы (И.9.1), а именно:

а)

система

(II.9.1)

не

расщепляется

на две независимые системы

V

= / 1){V, е),

w

=

f {2)(w,

е),

(II.9.3)

где v, w

— составляющие

вектора

и; б)

система

(II.9.1)

не имеет

решения,

в котором

часть

компонент равна нулю,

т. е.

ее

нельзя

расписать

в виде

двух подсистем

w,

е),

w

= f {2\(v,

w, е),

(II.9.4)

из которых

одна,

например, первая, имеет

нулевое

решение

v = 0 при произвольных w >

0,

е >

0.

К вырожденным

можно отнести также

линейные

системы,

когда матрица d f /ди

постоянна.

2.

Основные результаты в отношении невырожденных

систем

вида (II.9.1)

следующие.

Теорема 11.20. Система (II.9.1) обладает

положительным

ре­

шением

и =

и(г)

в той и только

той

области

0 - ^ е ^ е * ,

верхняя

граница которой

е* удовлетворяет уравнениям

« = / ( « , е),

d e t ( £ '- - ^ - )

=

0,*>

(И.9.5)

причем

последние имеют единственное

положительное

решение

Иj , ... ,

И^ —

Uп,

£

—

£ .

Теорема

11.21.

В области 0 - < £ < £ *

теоремы

11.20

система

(П.9.1)

обладает

единственным

положительным

решением

и = и (г),

непрерывным и обращающимся в нуль при с =

0.

Теорема

11.22.

В

области 0 < £ < > *

теоремы

11.20

последова­

тельные

приближения

ик =

/ ( uk - v

£) ’

(II.9.6)

где и0 =

0, сходятся

к решению

и — и (е),

определяемому теоре­

мой 11.21. _К этому же решению сходятся

приближения

(II.9.6),

если и0 < и (е)**).

результатов,

выраженных

в

формулировках

Доказательство

теорем, имеется в [97].

уравнения*

В случае

одного

скалярного

Уравнение (II.9.5) отличается от (П.9.1) тем, что

(II.9.1) определяет и

как функцию е, а ( 11.9.5) — система ( н - f l )

уравнений

относительно ( п + 1)

неизвестных и ,... , ип , г.

*** Векторное неравенство и0 < и (е)

эквивалентно п скалярным неравенст­

вам для компонент uQ1 < и , . . . , и0п <

ип .

Положительным называется век­

й = / ( й ,

е)

(II.9.7)

эти результаты

геометрически

очевидны из

графиков

кривых

У = / ( и , в) при в < в*, е =

е*, е > в*.

Сходимость последовательности

(II.9.6)

к

и при и0 <

и

вы­

текает из монотонного возрастания и ограниченности

этой

по­

следовательности.

3. В случае

линейной

системы

(П.9.1)

теоремы

11.20—11.22

также справедливы, если заменить закрытую область

0 - < е < ;е *

открытой 0 < s < в*. Решение

и =

и(е) является при

этом

не­

ограниченным при в—в*. Закрытую область

0 < в < гх

и

ограни­

ченное в этой области решение

и =

и ( в)

получим,

заменив

в

уравнениях (II.9.5) теоремы 11.20

нуль

на любое малое

число

о.

вырождения в смысле б)

можно положить v = 0 и

рассмотреть

только уравнение для w.

Таким образом, и

для

вырожденной

системы (II.9.1)

существует область 0 < в < вь

в которой справед­

ливы теоремы

11.21, 11.22.

4. Более общими по сравнению с (П.9.1)

являются системы

вида

u = Au-\-f(u, s),

(II.9.8)

и = ( Е — A)~lf ( u , в),

(II.9.8*)

x = L F ( t , х, в),

(П.9.9)

где в — параметр (для простоты

считаем

s ^ O ),

F — векторная

функция, непрерывная по в , непрерывная

или кусочно-непрерыв­

ная по t , дифференцируемая или липшицева по х

в некоторой

области D HI х |< R,

0 < t < Т, 0 < s < s 0},

причем

F ( t ,

0, 0) = 0,

J £ ^ J d L

= 0,

(П.9.9*)

6—217

81

ций с областью значений в этом же

пространстве,

и

непрерыв­

ный по параметру в. Если функция F липшицева,

т.

е. удовлет­

воряет неравенству

II F { i , * 2,

е) — F{i*

х и £) |< Л/1|х 2 — -Xi ||,

(II.9.10)

где N — постоянная,

зависящая

от в и от числа R,

определяю­

щего область изменения х,

то

надо

потребовать,

чтобы

N -^0

при JR-+0, в-*0.

Ограниченность оператора L выражается, как

известно,

не­

равенством

НА>11 < р II? II;

(и.9.11)

здесь ср= ср (t) — произвольная

функция, в классе

которых

рас­

сматривается оператор L , а р — постоянная, не зависящая

от ®(t).

Системе (II.9.9) может быть поставлено в соответствие

функ­

циональное уравнение (в общем случае векторное)

и =

Ф (и, в),

(II.9.12)

лярное уравнение

вида

и = рФ ( и , в),

( II.9 .1 3 )

где р — постоянная

в условии

(II.9.11)

ограниченности

операто­

ра L,

а Ф

( и , в) — скалярная

мажоранта Ляпунова

по отношению

к F (t,

х,

в). Так называется

функция,

принадлежащая

к

классу

функций,

рассматривавшихся в п. 1,

и такая, что

|F ( t ,

х , в) |< Ф (и,

в),

dF (t,

X,

е)

<

РФ (и,

е)

(II.9.14)

дх

да

для всех

t,

х,

в в

области

D,

если

|/л: |< и.

Отсюда

вытекает

неравенство

|F(t,

х 2, в) — F ( t ,

х и

е)||<Ф(и2,

в) — Ф(й„

в),

(II.9.15)

если ||*5||<и5, s =

l, 2, |х 2 — Xj |< и2 — иг

Для липшицевой функции F (t, х, в), удовлетворяющей нера­

венству (II.9.10), скалярная

мажоранта

Ляпунова

может

быть

положена

равной

Ф (и,

в) = N { b) u.

(И.9.16)

Эта мажоранта удовлетворяет

условию

(II.9.15)

и

первому иа

неравенств (II.9.14).

обращающе

2.

При нахождении решения уравнения (II.9.9),

гося в нуль

при в = о, естественным

является применение асимп­

x k =

L F ( t , x k_x,

е),

& = 1 ,

2, 3 , . . . ;

x Q~ 0 .

(II.9.17)

Используя

мажорирующие уравнения (II.9.12)

или (II.9.13),

убеждаемся в справедливости следующей теоремы.

Теорема

И.23.

Пусть

при 0 < в < в *

уравнение

(II.9.12)

имеет

положительное

решение

и = и(в),

обращающееся

в

нуль

вместе с в, и это решение

принадлежит области

D.

Тогда при

этих значениях в

гарантируется

сходимость

последовательных

приближений

(II.9.17)

к

единственному

решению

x =

x(t, е)

исходной системы (II.9.9),

непрерывному

по в и обращающемуся

в нуль при

е = 0.

Доказательство

следует

из того, что последовательные

при­

ближения для

уравнения (II.9.12)

= Ф ( й*- р

®),

£ =

1.

2,

и0 = 0

(II.9.18)

являются

мажорирующими

по

отношению

к

приближениям

(II.9.17), т. е.

II х к (* .£) ||< Чu k (£) ||» II■**(*»£) -

-s -i (*ȣ) ||<

< |и к {г) — HA_j(e)||, k = \ ,

2, ... ,

(II.9.19)

а также из свойств последовательности ( uk (в)}.

Эта теорема позволяет не только

установить факт сходимос­

ти последовательности \xk (t, в)} к

точному решению x ( t , в)

системы (II.9.9), но также получить

оценку

области

сходимости,

выражаемую числом в* и находимую при

анализе

мажорирую­

|х (t, в) -

х , (*,

в) |< |и (в) -

ил (в)||.

(II.9.20)

3.

Последовательные

приближения (II.9.17) эквивалентны ряду

х х +

( х 2 — х х) + (х3 — х 2) +

•••,

(II.9.21)

так что при желании

можно

представить

искомое

решение

в

виде

ряда,

сходимость

которого гарантируется в

некоторой

области.

Типичным

является случай,

когда ||л;й—

так чт0

(II.9.21) — ряд, расположенный

по степеням

величины

порядка

в.

В случае

функций

F(t, х , в), Ф(и, в), аналитических по в,

х,