Файл: Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.pdf

х =

j

{t,

х, е) -j- •••+

L mF т (t , x, е),

(II.9.22)

где

Za,

F a — операторы

и функции такого

же

характера,

как F

и L

в

(II.9.9), а также к системам вида

л: =

L 0x -f- L vF(t,

х,

е);

'

(II.9.23)

здесь

L 0 — такой

оператор,

что существует

сбратный

оператор

(Е — Z.0)_1. Последней системе

может

быть

поставлено в соответ­

ствие мажорирующее уравнение вида (II.9.8).

III. Квазилинейные

дифференциальные уравнения

с малым параметром

в правых частях

Целый ряд задач о построении решений уравнений различных

типов с

малым

параметром

может быть

приведен к

задаче о

построении решений операторных систем вида

(II.9.9),

(II.9.22),

(II.9.23).

Следовательно,

эти решения можно искать с

помощью

сходящихся в некоторой области приближений или рядов,

отве­

чающих (II.9.17) или (II.9.21) соответственно. К их анализу при­

менима

методика,

связанная

с мажорирующими

функциональ­

ными уравнениями Ляпунова.

1.

В качестве

одного

из простых типов уравнений рассмотрим

систему

|

=

P ( 0

^ - s/ ( U

, s ) ,

(П.9.24)

где

Р (t) — непрерывная

по

t

матрица, f i t ,

х,

е) — вектор-функ­

ция, непрерывная по t,

в

и дифференцируемая

по х

в

некото­

рой

области D {0 < t < Т,

||jc ||</?, О < в < е0}.

Ставится

вопрос

о нахождении решения

x ( t . s), обращающегося

в

нуль

при

е =

0.

Эквивалентной

по

отношению

к

(II.9.24)

на

множестве

таких

решений является

интегральная система

t

X =

вХ0 (t) JХ ~ 1 (т)/(х,

X,

е) dx;

(II.9.25)

о

здесь Х 0 (t) — нормальная

фундаментальная

матрица для

линей­

ной системы

d- ^

= P { t ) x .

(II.9.26)

Можно переписать (II.9.25) в операторной форме

(II.9.9),

поло­

жив F (t,

х ,

в) =

е/ (t,

х ,

в)

и

опрелелив оператор L

формулой

t

L ? (t) =

Х й( п \ х - '

(т) ® ( т )* .

(II.9.27)

О

Оператор

L

линейный

в

области 0 < К Т ,

ограниченный,

так

что справедливо

все

изложенное

в п. 2 настоящего

параграфа.

Таким образом,

при 0 < t < T получаем искомое

решение

системы

(II.9.24)

как предел последовательных приближений

x k (t, в),

отве­

чающих

(II.9.17)

и (II.9.25)

и

представляющих

решения

систем

dx

p

(t) x k +

Ef ( t ,

x k_ v

в)

(II.9.28)

~ а г =

при нулевых

начальных

условиях,

причем

||^i|| — в,

Ц-^2—

—®2

и т. д.

Для построения мажорирующего уравнения следует

оценить

оператор

L.

Справедлива

оценка

IIL ? II < Р IIе? II,

Р =

max

П X (t)X~\x)

dx.

(II.9.29)

0<*<7n 1

Скалярное мажорирующее уравнение

запишется в виде

и — врФ (и,

в )

,

где Ф (и,

е) — мажоранта

Ляпунова для f ( t , х:,

в).

Для иллюстрации рассмотрим скалярное уравнение

=

— лс + в/(С х),

f ( t ,

х)

= cos t +

2х — х 3.

(II.9.31)

Операторное

уравнение

примет

вид

Cх),

t

х =

b Z /

(

I ?

0

e~(t= -~L)v(x)j

dx.

( I

I .

9 . 3 2 )

Число p

в оценке

(II.9.29)

оператора

L равно

t

р =

max j* e~{t~x) dx =

max ( l

— e~*) =

1,

0 < t <

oo,

«

1 о

*

так что

этот

оператор

ограничен

на всей

полуоси

0 < t

<

оо.

Мажоранта для f { t , х)

равна,

очевидно,

ф (а)

=

1

+

2и +

а 3,

так что

мажорирующее

уравнение (II.9.30) запишется в виде

и =

в(1 +2/г +

гг3).

(II.9.33)

Положительное

решение

и (г) этого уравнения существует

при

0 < г < е * ^ 0 , 2 6 .

Следовательно,

можно гарантировать

при

та­

ких в сходимость

приближений

t

* *

=

Ч

(cos t +

1

(II.9.34)

о

4

к точному

решению x ( t , в) при всех 0 < t

< оо, 0 < в < 0,26.

Оценим

теперь погрешность первого

приближения

х х (t, в),

которое равно

х х

- - J - ( — е

1 + cos t -f

sin t),

например,

при е = 0,

1. Имеем

\\x(t,

в ) - х х(*,

в) |< и (в) -

их(в),

(II.9.35)

Пусть ставится вопрос о нахождении

Г-периодического решения

х (t , в), обращающегося в нуль при в = 0, и пусть

имеет место

некритический случай (вещественные

части всех

характеристи­

нуля). Тогда эквивалентной

на множестве таких решений явля­

ется

система

t + T

х = е [ х - 1 ( Т )

-

Е } - ' Х 0 1<) J

Х 0 (х)/(-с,

X,

S) Л ;

(II.9.36)

здесь 2^0 (t) — нормальная

фундаментальная

матрица для

линей­

ной системы (II.9.26).

^Л'“1(7') — Е ~1

В

некритическом

случае

обратная

матрица

существует (имеет ограниченную норму). Таким образом с

уче­

том

оценки (II.9.29) опять получим, что уравнение

(II.9.36)

мо­

жет

быть записано

в виде

операторной системы,

совпадающей

по структуре с (II.9.9). Следовательно, опять можем искать

пе­

риодическое решение в

некоторой области значений в

с

по­

мощью указанных

выше

последовательных

приближений или

рядов (см. [98—104]).

IV. Квазилинейные дифференциальные уравнения с

малым

параметром

при производной

1.

Рассмотрим систему

е § - =

Ax +

v.f{t,

х )

(II.9.37)

с малым параметром

в при производной и малым

параметром р.

в правой части и с постоянной матрицей А , причем

пусть

вы­

полняется, как это

обычно требуется

при анализе таких

систем

(см.

[15]), известное условие устойчивости: вещественные

части

всех

собственных значений

...,

\п

матрицы

А

отрицательны.

Относительно функции f ( t ,

х:)

предположим, что она непрерыв­

на по t и дифференцируема

по л: в некоторой

области.

Пусть

ищется решение x: (t, в,

|х),

обращающееся в нуль при в = [х = 0 .

Систему (II.9.37) можно заменить, как и ранее, эквивалентной

операторной системой с

линейным

ограниченным

оператором.

Действительно, так как нормальная фундаментальная матрица

для

линейной однородной системы

(получающейся

из

(II.9.37)

при

[х = 0) равна

X 0 ( t , e )

=

— t

,

(II.9.38)

e &

то система (II.9.37) эквивалентна на множестве решений

с нуле­

вым

начальным условием х (0) = 0

интегральной

системе

1 — (t-i)

х) dx

(II.9.39)

x = ~Y- \ е &

/ (т,

о

или

операторной системе

x

— L F ( i ,

х, |х),

/7=

н/(^, х),

(11.9.40)

где L — оператор,

выражаемый формулой

(t)

1

Г

е

т

<*-х)

(11.9.41)

= —

J

ср (х) dx.

вуют, как

нетрудно видеть, решениям

систем

dxb

2, 3, ..., x 0 = 0 (II.9.45)

2 ~dT = Axk + p f (t, x k_!), k = 1,

степеням е, то его следует применять

осторожно, так как в ря­

де случаев оно не эффективно. Рассмотрим,

например,

первое

приближение х и находимое

при х 0 =

0 из линейной неоднород­

ной системы. Если

положим для

простоты

записи

х х = у,

Ij f ( t , 0) = 9 (t), то получим систему

i %

= Ay + ?(t) .

(11.9.46)

Ее решение при начальном

условии

у (0) =

0

определится по

формуле

У ( * ,

в)

— (i -*)

9 (т) dx.

(II.9.47)

У (*, £) =

А - \ (0) + . (Л - ) 2% + ■ ■ ■

+

X

t = 0

— t

X

е е

+ в (Д -1)2^

+

•••+ в”' 1 (Д -1) л X

dtn~l

+ Я я>

(II.9.48)

где R

— остаточный

член разложения

по степеням

в,

равный

t

A

(<-“*)

dn <p (t )

R„ = R n (*,

e) =

s " - 1U - I)'! j e

—

dx.

(II.9.49)

dxn

Это же разложение (без остаточного члена)

мы получим, найдя

формальное

разложение

решения

у (t,

в)

по

степеням

в (но с

выделением

экспоненты

e {Ale)t).

Ввиду

(II.9.42)

справедлива

следующая

оценка R n:

(II.9.50)