Файл: Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.pdf

Достаточное условие сходимости разложения (И.9.48)

при

оо

к искомому решению y{t, е) имеет вид

dnу (О

П-*оо

> 0.

(II.9.51)

dtn

мости данного разложения, так как в ином случае

общий член

ряда во второй квадратной скобке

в (II.9.48)

вк ( А - у +1

dk у (t)

dtk

не стремится

равномерно

по ^ к нулю при k ^ со .

Следователь­

но, условие

(II.9.51)

позволяет определить

радиус

сходимости

по в ряда (II.9.48).

Он

зависит,

таким

образом,

от свойств

что разложимость у (t , е ) в ряд по степеням е является

весьма

специфическим свойством этого решения.

Пусть, например, рассматривается скалярное уравнение

=

-

У +

? (*)>

V W =

г Ъ

•

(11-9-52)

Тогда d nyldtn = ( — 1)л/г!/(1 +^)л,

и ряд (II.9.48) имеет

вид

оо

1

У (t, е) = 2

£”^!

е

—

01 =

1.

(II.9.53)

(1

+ t ) n

п=о

Условие его сходимости

е” п\ ->•0,

/г -> оо

не

выполняется

ни

при каких е . Этот ряд расходится при сколь

угодно

малых

е ,

так что пользоваться

им при построении

решения

нецелесооб­

разно.

Вместе с тем заметим, что при любом конечном п мы

полу­

чим согласно выражению

(II.9.50) асимптотическую оценку

|R „ ||<

О ( г").

(II.9.54)-

Таким образом, мы имеем пример, когда асимптотическая

оцен­

ка такого вида, применявшаяся во многих

работах,

совсем

не­

эффективна при оценке погрешности

приближенного

решения.

том, что с ростом п> т. е. с увеличением числа

вычисляемых в

ряде (II.9.48)

членов погрешность полученного

приближенного

решения уменьшается.

Конечно,

можно

встретиться и с „хорошими"

случаями,

ког­

да ряд вида

(II.9.48)

по степеням

е сходится. Например,

пусть

в уравнении

(II.9.52)

<p(£) = sin£.

Тогда |ср(л) (£) ||= 1 при любом

п и условие (II.9.51)

выполняется при |е|<1. Ряд (II.9.48)

схо­

дится к точному решению при всех таких е.

Таким образом,

уже

при

анализе первого

приближения

х х (t , е,

(х) к решению системы

(II.9.37)

мы встречаемся

с

серь­

езными

трудностями

разложения по степеням е.

Ситуация

для

последующих приближений

может лишь

ухудшаться,

так

что

w

= P ( t ) x +

e f( t , х),

(II.9.55)

предположив, что f ( t ,

х) — дважды

дифференцируемая

функ­

ция х. Перепишем эту систему в ином виде (добавляя и

вычи­

тая

одинаковые члены):

£ = (р + е ^

) *

+

е

f i t , х)-

d f ( t , х)

X

(II.9.56)

дх

Для нахождения решения, обращающегося

в нуль

при

в = О,

построим последовательные

приближения

x k (t,

в),

& = 1, 2, . . . ,

определяемые уравнениями

dxk

d f ( t , x h- 1

х ь + e / ( * . Xk - l )

d f { t ,

x k _,)

dt

дх

dx

X k-l ’

(II.9.57)

*o =

0,

*Д 0 ) = 0.

~

=

Р х + ? (/)

(II.9.58)

в виде

x(t)

= L rf (t).

(II.9.59)

Тогда система (II.9.56) эквивалентна операторной системе

х = гЬ

d f (t,

х) X I

“р sZ, f i t , X ) - d f (t , x)

X

(II.9.60)

дх

дх

причем L — линейный

и ограниченный

оператор.

Если

ФДм),

Ф2(м )— скалярные мажоранты Ляпунова

по отношению

к д / / д х

и к функции внутри квадратных скобок

в (II.9.60),

то

соответ­

и, =

sp \иФ^ {и) -f- Ф2 (и)],

(II.9.61)

где р — число в оценке

(II.9.29)

оператора L.

Это

мажорирующее

уравнение позволяет доказать непосредственно сходимость

при­

ближений x k {t, е)

к точному решению исходной

системы.

Прав­

да, это уравнение

не отражает

характера

данной сходимости.

тей х к — х к_ х =

yk ,

& = 2,

3,

..., записывающиеся

в виде

dyk

d f ( t ,

x k _ x)

(II.9.62)

dt

Р —[—£

дх

У* +

здесь

я * ( г> У * -.)= / (< . * 4-2 + У*-11 - / p . ^ - г ) —

г> Уе-1'

(II.9.62*)

т. е.

в виде линейной неоднородной системы

%

=

0°

+

^

) У, +

(О,

(н-9-63)

где

— известные функции t.

Решение этой системы можно

выразить с помощью

некоторого

оператора L k,

зависящего от

функции

У*(*) = £*?*(*)•

(II.9.64)

Следует

отметить,

что эффективность

приближений х к (t, е) пол­

ностью

проявляется

именно тогда,

когда

мы умеем

находить

этот оператор, т. е.

умеем

строить

решение

системы

(II.9.63).

Но

во

всяком

случае,

если

известна

оценка

оператора L

(|| Z,cp |< р Цср|/),

дающего решение системы (II.9.58),

то мы можем

получить следующую

оценку

для

решения

системы

(II.9.63),

т. е. для

оператора L k :

||у*|| = ||£* ?* II < Г Г т /pTf] II n

II-

(11.9.65)

Таким

образом,

при малых г имеем ||У* |~ |

||*

Из

выражения для функции H k в правой части (II.9.62*)

вид­

но,

что |H k '|~~ |Ук-\ ||2- Следовательно, если учесть, что ||у1||~е,

то мы имеем оценки порядка

II У2II -

£ |У! II2 ~ £3, II Уз II -

£ |у2 II2 -

^

...,

(II.9.66)

’

оо

так

что последовательность [x k (t%в)}

или ряд ^

У* (С

£)

°бла-

й =1

дают так называемой квадратичной сходимостью. Убывание

по­

рядка величины |у* | сравнительно

быстрое. Например,

ограни­

чиваясь х г Ц, в),

мы пренебрегаем членами порядка £15,

а

огра­

ничиваясь х 6 (t,

е) — членами порядка s127.

Предлагаемый метод ускоренных итераций эквивалентен ана­

логу метода Ньютона в применении

к операторным

системам

w =

х'

У )•

гЧт= Y^'

У » -

X (0)

= х 0,

у (0) = у0,

0 < t < L .

Очевидно, полагая t = ет, эту

систему

можно записать как

систему с быстрыми и медленными переменными вида

% = еЛГ(<,

* , У),

х,

у),

- ^ - = 6 , (II.10.2)

х (0 ) = х 0,

у (0) =

Уо,

*(0) =

0,

0

< т < 1 е ” 1.

^ - = 0,

%

=

Y { t , x , y ) ,

- £ = 0.

(11.10.3)

Согласно терминологии А. Н. Тихонова,

система

(II. 10.3) есть

не что иное, как присоединенная система.

Пусть общее решение

системы (II. 10.3) известно:

У — У

х,

с),

х = const,

t = const.

Находим среднее

т

В работе [П показано,

что

если

среднее Х 0 не зависит от

с, то

X 0 (t, х)

= X ( i .

х,

ср(*, х)),