Файл: Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 120

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

жень предполагаем шарнирно опертым, а его сечение—постоянным, по длине. Связь между напряжением ах и деформацией е^. за­ дается нелинейной зависимостью вида

° A t ) = E

( £* + т 4 ) - £ j R (t - z) X

 

X

(х) + kel(x) dx

(V.2.20)

где 7, k — положительные постоянные, характеризующие соот­ ветствен но упругие и вязкие свойства материала стержня.

Примем деформацию в предположениях Бернулли—Эйлер а

д2и

гх ( t ) = — Z ^

здесь и (х, t) — поперечный прогиб стержня, z — расстояние точки поперечного сечения стержня до нейтральной оси. Тогда попе­ речные колебания прямолинейного вязко-упругого стержня, сжа­ того периодической продольной силой Р (t) = Р 0 -f P t cos dt, опи­ сываются интегро-дифференциальным уравнением [146]

E I

+ р (t) ^ \ + т Ц | = . ( - Зт.£7,

дх2 цд *3

 

 

4 3kEIA R (t - *)

пд2и (х , t)

i d2и (x,

т) \ 2

, ( d2u (x, t)

diu (x, t)

dx

0

dx 2

^ dx3

J

^

dx2

dx4

 

 

 

 

 

 

 

 

~ (V.2.21)

где E I —жесткость стержня при изгибе; т —масса стержня, отне­ сенная к единице длины; /t= J zkdF\ F — площадь поперечного се­

чения стержня; 7 = е^,

^ = const.

 

 

 

Решение уравнения (V.2.21), удовлетворяющее граничным

условиям задачи, будем

искать

в виде

 

 

 

и ( х ,

t) =

 

TZX

(V.2.22)

 

Т {t) sin " у ,

тде

/ — длина стержня.

Подставив (V.2.22) в (V.2.21),

получим

для

определения функции

Т (t)

уравнение

 

 

Т" + р 2(\ - 2 8

cos 0/)' Т =

—АР +

 

186

t

t

 

+ 0)2 ^R{t-x)T(x)dx-\-

b f R ( t - x ) T 3(x)dx

. (V.2.23)

о

о

 

В (V.2.23) использованы обозначения: ш— частота собственных колебаний стержня, загруженного постоянной составляющей продольной силы Р 0; S — коэффициент возбуждения, причем

<о =

t ) Y e^ " - V

1 ___ о =

______ Ei___•

Р, = ( — I Eb

 

Pi

2 (Р п -Р 0у

2

 

 

 

 

h =

31,4-

 

kE/x

 

 

* =

3 - г Am

 

 

 

 

 

Предположим, что амплитуда продольной периодической силы есть величина порядка е:

 

 

Р (t)

= P 0 + ePt cos Bt.

,

 

Тогда уравнение (V.2.23)

имеет вид

 

 

 

 

 

 

г

 

 

. .

t

 

х) Т ( х )dx

 

Т" -f- р 2Т = е

2 Тр2о cos Bt —'АР +

«)2j

R (t -

+

 

 

 

 

 

 

ОV

 

 

 

 

+

А

R ( t ~ x ) T 3{x)dx

 

(V.2.24)

Решение

уравнения (V.2.24) будем

искать в виде

 

 

 

T ( t ) = Cl cos pt -f c2sin pt

1

(V.2.25)

 

T

(t) = p ( — c 1 sinpt +

c2 cospt)

J

 

 

Подставляя (V.2.25) в (V.2.24)

и разрешая эту систему

относи­

тельно

и с2 ,

находим следующую систему интегро-дифферен-

циальных

уравнений стандартного вида:

 

 

 

 

г

esinpt {

 

 

 

 

 

ч

 

 

сх = ------ - — J 2 рЧ cos Bt(ci cos pt -f-c2 sin p t)—

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

— h{cxcos p t +

c2 sinp t f

-f <JU2 j* R (t — x) [ct (x) COS px +

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

+

C2 (x) sin/7x] dx +

b J

R (t — x)

(x) cos px -f

 

+ c2 (x) sin/?xj3dx

.(V.2.26)

J87

с2 = £ c° s_pL I 2/?28cos И (cx cos pt-\-c2 sin pt) —h(ci cos pt-\-

t

c2 sin /7/)3+ш2 J R ( t — Tj[ct (x) cos p i + c2 (x) sin/7x] d x-f

о

t

+ b j R (t — x ) (x) COS / ? x + c2 ( x )sin / ? x ]3 f l f x | b

Усредняя эту систему согласно второй схеме, при 0 = 2р находим!

 

5 = - 2 £

v2 R s Е 4- (V R c — Ъ)г} — Ьг У] (rf +

Е2) 4-

 

 

?

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4- Ь2 Е

(^2 4 - 12)

 

 

 

 

 

•

£/?

 

 

 

 

 

 

 

 

, (V.2.27>

 

(4 2 / ? с 4 - 8) 5 — V2 / ? 5 7]— ^2 Т](Т]2 4 - Е2) —

 

 

^ =

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

Ьх Е

(7J2 + %2)

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—

; R s = J

/?с (s)

sin /?sds >

0,

/?с = j # (s) cosp sd s >

0;

 

P

 

о

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

,

ЗЛ

 

3J

p

,

_

36 p

•

 

 

 

 

 

— "4^2

4

^

2

—

„2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4p2

 

 

Легко проверить,

что

точка

£ =

tj =

0

является единственными

положением

равновесия

системы

(V.2.27) и это положение

при

S2 <

v4

4- R 2 j

будет

асимптотически устойчивым.

 

Системе (V.2.26) при 0 4= 2р

будет

соответствовать усреднен­

ная

система

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I =

гр

 

 

 

 

 

 

E2)4 -

 

 

 

-

V2# ,E 4 -V 2/ ? ^ - ^ 7 j( 7 J2 +

 

г р

^ = ~2~

+ ь 2 Е w + Е2)

>. (V.2.28)

v2R c \ — 'i2R s y\— b2r\(rf 4- Ea) —

- bx E (v2 + I2)

188

решение

которой имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

$(*) =

« о | /

------;—

3---- 1 ------- ^ г —

г-ехр

'ч*2 Rs *

X

 

 

 

R S ~

b 2

а0 еХР ( -

 

*

)

 

 

 

 

 

 

 

(

е р у 2

£

 

0 . .

 

Г о

 

 

 

 

X Sin |-------- 2---- +-2*Tl n l

V R° ~

 

 

 

 

- M o

exp ( -

e/>v2R j )

 

j+

<p0 J ;

 

 

 

 

 

V2 /?

 

 

 

 

exp

e/?v2 /? t

 

f[ {t) = а,'о у

■ R s

- b2 a 0 exP (

-

 

* )

—

X

BP ^ R s

 

 

 

 

(

zpyl R

t

b

г

2

ГЛ

,

2

 

 

X c o s ------ —----h 2^ In [ ^

Rs

~ b 2

a ° X

 

 

 

X

exp

( — e/?v2 R s t) j +

cp0j ,

 

 

где a0, <p0 — произвольные постоянные, которые находятся из на­ чальных условий. Решение уравнения (V.2.24) в рассматриваемом случае при достаточно малом в можно представить в виде

Т (t) » а 0

 

 

 

 

v*R,

 

 

 

/

z p * R s

t\

, Rs -

b2 а0 еХР ( - £^v2 R S 1

)

e x p -------- о—

x

 

 

 

 

 

 

 

X

sin if to —

EjPV2 R

 

 

 

 

 

 

 

 

2

l t +

2*7l n X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

[ v2# f -

M o exp (-e/pv2 R

J

) ] +

9o |.

 

(V.2.29)

Полученное

решение свидетельствует о влиянии нелинейных чле­

нов на амплитуду и частоту колебаний.

Так как

zp>2R s > О, то

•согласно (V.2.29)

при

t-+ оо Т (t )

0,

т.

е.

в рассматриваемом

■случае общее решение

уравнения

(V.2.29) получается

затухаю­

щим. Итак,

если на

шарнирно опертый

вязко-упругий

стержень

действует периодическая продольная сила, амплитуда которой пропорциональна малому параметру в, а частота — б =f=2/7, то решение рассматриваемой задачи будет мало отличаться от ре­ шения соответствующей задачи о собственных колебаниях этого стержня, нагруженного постоянной продольной силой Я0.

Теперь будем исследовать уравнение (V.2.23).

При в = 0 это

уравнение вырождается в известное уравнение Матье [73]

Г' +

р 2 (1 - 2 8 cos B t ) T = 0.

(V.2.30)

Решение уравнения (V.2.23) будем искать в виде

 

Т (t) =

с х у х {t)

+

с,

у 2 (О

(V.2.31)

Т ( 0 =

сх у\ (t)

+

с2

у' (t)

 

189

Смотрите также файлы