Файл: Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.pdf

л

<h_

-

_

dsu

° >i

6xt *

Sij, j

dXj

*

Так

как

преобразование

линейных

членов

было

выполнено

раньше,

то

преобразуем

нелинейные

члены

в

(V.1.20).

Имеем

Аа1

t

ае■ * +

t

Г

д (e/с»)

f e ^

2

e J - ^ - d i .

*l

J

дв

dx.

'

J

dz

mn dx,

n

1

Так как

2 em„

dxi

=

e mn f u m

+

и

)

mn

mn \

m, n

1

n, m)> i

TO

(Kemn^mn

®)»

, i =

j

д У

6. ! * +

l

9

+

« ».„1 )

Итак,

0

0

, i

f

a

y

J

e

^ x

+

f

e

^

L

.)gdx,

( и

J

d0

• 1

dz

mn \

m, ni

r

n,mt ) ’

4,;= “ \ e 4

дв

dxj

'

dz

mn

dxj

j dx

Далее,

так

как

то

Ui,Н

ЛUV

Uj , i j

— ®,i'

Я § А = 1 - т К + - г ® . ) Л -

0

y

о

Следовательно,

- 1 % - (■ч + 4 - е. i) * - 1

4 r 9.

-

0

'

0

t

— \е..^г~е

(и

m,

nj

-. и4

n.mj

\dx.

J

4 d z

m n\

'

)

Составим теперь

выражение

12-217

177

Уравнения движения

примут

вид

р fttt — j =

s tj' j-\ -

о t -\- J Qtd t,

4

'

о

или в векторной записи —

ри = p F -{ - (р. — р.*) А и +

[(X — X*) +

t

-}- (р. — р.*)] grad div и +

J Qdx,

о

где X и [1 - постоянные Ляме,

X*

и

р.* — операторы,

введенные

выше,

Q =

(Qi>

Qz-> Q3}-

Преобразуем выражение для

Qr

Имеем

д (0/ С * >

+ 4 - R

R

ки

—

,

dR*

дв

*

—

i

'lJ

д в

Q,y +

О

2

Заметим,

что

е . . 0

, )

= £ .. в

1

. ---- г—

, Г

Далее

ч

I/

,

3

е тп (

тй , nj

п, Ит)

)

Втп^

3

^т, ^rtj

Ит])л ,

— гтп

( Um, п) +

Un. mj)

3 "

/ *

Следовательно,

Qi — —

+

<Э0Я*

dR*

+

дв

дв

eij 0 j

4 -

+ “**)]+т

(V*. - V*)-

Учитывая,

что

4 - ее , 4 - { e , R

*

- М А Л = 4 - е ^ - е „ о

3

>J дг \ h

ч

*/

3

дг

Ь , J

_ _ | _ 0 2

( д К * ,

1

дг )

*’

[

дг

"+■

з

находим

« . = — 5 - ^ л “« - - Г Л*

д (ОК*)

1

dlk-jf д

|

дЬ

T - w e +

2 е2« ,

2 е2дА^\е

е / 2 eW j_ _ д#*

1

3

дг 1

9

дг J •t '

1j >J у 3

дг

д0

— -т—(

в,

R

— 8,.6/С) е

( и

. 4 - и

Л.

дг V

i]

\

tj

\)

тп\

т, р]\

п, mj) ’

Вводя обозначения

D

__

1

П

^ (® ^*)

1

д/?* д

|

2 Q2 Ж *

|

2

Д 2 < ^ *

К *1 — ~к“ К*

я?)

ч---- Ж-0

I

~т~и ~Ж~ "Г -о~° “ДГ-

5 ' ' *

д0

3

д0 ~ 1

3 ~

дг 1

9 w дг

п

_ dR%

2 q

д/?#

*\*2 —

“

--------- У

дг

получаем

дЬ

Qt

2

^*Дмг

^.1®, i

^ ,2efyQ,y

— г— ( е, R

*

— 8 .б/С ) в ( и

. 4- и

Л.

дг V

I]

ij

*)

гпп\

т, П] 1

rt.mj)

Итак, искомые уравнения движения будут иметь вид

ри = p F 4- р&и 4-

4- Iх) grad div и — |х*Д« — (X* -f jx*) grad div и —

— j |-^-#*A«4-#*igraddivM4-

где

: i

_

oH

^*2 £

; Q i,

Q } = e ,

дг

i

'tj

—

- f / c ) 08 s

l u

-(- и

X

гих наполнений,

в соотношениях (V. 1.19) естественно возникают

малые параметры

за счет того, что

t

J 4

dx < К ( 0 ) max |6(4) I,

0<t<*

ч

г ? >

. (t,.

Д)

'liji ( \

) d \

+

4 h J i

V ’

t

t

+ Я

Г'5 Ь ,(^ ’ V

%

К

л

(

\

)

• (V.I.21)

0

0

Подставляя (V.1.21) в уравнения

и учитывая,

что

д а ;

д и ;

2s..

= -т-------(-

’

ч

dxj

1

dxt

0x (t)

= Е

х )

( x

) . f l f x

(V.2.1)

Если материал

обладает

малой вязкостью,

то

интеграл

t

t

t

о

0