Файл: Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.pdf

+

Ь

— т)

[Сх (х) Ух (т) + с2 (х) У2 (т) ]3 fl?x|

О

J

(V'.2.32>

С2 =

zDyx (t)

— h (Сх ух +

с2у2)3 +

г

+ Ш2 j R (t — х) [Сх (т) Ух (т) + С2 ( х )у 2 ( х ) ]

r f+x

о

+

b J R

(t — X) [ct (х) у,

(т) 4- с2 (х) у 2

(х)]3 ^xj

где

-1

D =

const.

Ух(*) У2 (t) — y2 (t)y l (t)

=

значениях

a f а = z(3, 0 <

[3 <

в (V.2.32)

можно

положить

Ух (* )

= 2

d k c o s

+ P)

^ У2 ( 0 = 2

d k s in

(^9 +

P)

— 0 0

—

0 0

He умаляя общности, в (V.2.32)

постоянную D

можно

считать

равной единице,

полагая при этом

Mi (0) = У2

Ух (°) = У2 (°) =

°-

Систему (V.2.32) будем решать

методом усреднения. Этой сис­

теме соответствует усредненная

система

i = — ~Y [ cl\£+ #2 rl — ^3rl( ri2 jr £2)+ tf4 £ (r? 4- ¥) ]

(V.2.33)'

71= ~T Iй2 * — a ' 72 — a * 73№ + ^ ~ a3 *

+

^2) ]

оо

-

0 ) 2 2dl

.

d , R c k

— oo

j .

(V.2.34)

Rsk= j R(s) sin (kB +

p) sds

>

0,

Rck

0

= J R (s) cos (kB +

p) sds >

0

X

о

Нетрудно заметить, что ряды в (V.2.34)

являются

сходящимися.

Интегрируя систему, находим решение уравнения (V.2.23):

T ( t ) ~ \

(t) ух (t) + 7j (*) у 2 (t)

=

а 0

______ Oi_________

X

— a.Qа4 exp (— eat t )

l x

exp

^ - )

2

d

k s i n { ( «

+

p—

^ - ) < +

J

—oo

+

' § 7 l n [ a i _ a o^4exP ( - £ai

*)] +

? o } ’

(V.2.35)

где a 0,

cp0 — произвольные

постоянные.

Полученное решение свидетельствует

о влиянии

вязких

чле­

нов на частоту и амплитуду колебаний.

Так

как а х > 0,

то,

сле­

довательно, решение (V.2.35) затухающее.

4.

Исследуем теперь

вынужденные колебания

вязко-упругого

стержня

под действием возмущающей силы

/ (t).

Связь

между

напряжением ах и деформацией ех примем в виде (V.2.20). Тогда

поперечные колебания прямолинейного вязко-упругого стержня,

сжатого

периодической продольной силой P (t ) ,

описываются ин-

тегро-дифференциальным уравнением

[146]

t

Г ' +

/?2(1 - 2 8 c o s 0 * ) T = e

- А Р +

ш2

о

т)

Т (т) d x

т) Р

( х ) d x

+/(<).

(V.2.36)

Пусть внешняя сила, действующая

на систему,

имеет

вид

/

(f) = a sin Xtf, а,

X = const.

(V.2.37)

Учитывая

(V.2.37)

и полагая Р (t)

=

Р 0+ в P^cos В1,

записываем

уравнение

(V.2.36)

в форме

Т" + р 2 т =

2о/72cos б t

Г - Л Р

+

ш2 j

R { t - x ) Т(т)йт +

+

Ь f

R (t - х )

Р

dx( х )

a

sin X/.

( V

. 2 . 3

8

Исследуем движение

системы

(V.2.38)

при р Ф X.

Заменив пере­

менные по формулам

Т (t) = pi cos pt

c2sinpt -j-

p2a

sin I t

,

(V.2.39)

a\

Tr (t) =

p

^ cos

( — Ci sin pt + c2cos pt) -f- ■ 2 _

приведем

уравнение

(V.2.38)

к стандартному

виду

с,

=

— —lnpt (25/?2 cos Bt (cxcos p t -{-c^smpt -f^sinXtf) —

t

— h (Ci cos pt - f c2sinp t

d sin At)3 +

-j-

to2

| R

(t — x)

[cj (x) cos /7x - f c2 (x) sin p '

-\-d sin Xx ]

d x +

6

t

+

b | R (t — x)

[cj (x) cos/7x -|- c2 (x)

sin /7x -f- d sin Xt ]3д? x

,

( V

. 2 . 4

0

'

=

£ COS pt

c2sin pt +

d sin U) —

C

----- -— %p2cos Bt (Ci cos pt +

2

p

t

— h (ct cos pt -f c2sin p t -f- d sin X£)3 +

+

Ш2

j

(t — x ) \cx ( x )COS /7Х -j- C2 ( x

)sin /7Х

d sin X x ]

J x-f

0

t

+

b | R (t — x)

(x) cos / 7x -f Co (x)

sin p~ +

d sin Xx]3 d i

где

a

d =

'

—

Систему

(V.2.40)

будем

решать

методом

усреднения. Этой сис­

теме

при

0 = 2/7,

р

X,

-^-Х,

ЗХ соответствует усредненная

сис­

тема

-

-f [ь3г+ (ь-ь) У1- ь хУ1(гпг2) + ь2e (г,2-н2))

Ч\=

- у - [(^4 +

8) 5 — &3 Ч —

b-> -Ц( т

+

S2) —

,

(V.2.41)

-

b x\w

+

щ

где

3 b d *

3/?rfg

3 b d °-

Ьз =

*2* , +

2p* Я , . Ь4 - *

Я

е +

2p*

R c -

2/?2

Легко

проверить,

что

точка

? =

^ = 0

является

единственным

положением

равновесия

системы

(V.2.41),

и это

положение при

* < К

2

+

2

будет

асимптотически

устойчивым.

Отсюда

следует,

Ьг

что

Т (t)

= d sin kt

при

о <

b4 -f b3 будет

асимптотически

устойчивым.

Системе (V.2.40)

при 0

2р, р =/=X, ЗХ,

X будет соответство­

вать

усредненная

система

'

г =

-

Ц -

[ь3 ? +

*4 -п -

*,

г, (’i2 +

г ) +

ь ,

г (V +

£2)]

(V.2.42)

'■п= ^[ьлЬгг,- ь,т)(^ + ») _ ь, 5

+

г*)]

T ( t )

Ctr

s p b 3 t

X

ехР;

Ь3 — Ь2 а 0 еХР ( - гР Ъъ

Ь

)

X

sin {( Р —

Ь 3

~

Ь 2 а 0 е Х Р ( ~ £^ з 0

■+

-Ь 9о ) "Ь d

sin ^-t)

(V.2.43)

где а 0, ср0 — произвольные постоянные.

Заметим, что Ь3> 0, поэтому

при

t-+co решение уравнения

13-217

193

Известно, что флаттер

представляет собой

явление,

при

ко­

тором тонкостенные

элементы конструкций (стержни,

пластины

и оболочки), обтекаемые

потоком

газа, при определенных

кри­

тических

скоростях

приходят в колебательное движение с

ин­

тенсивно

нарастающими

амплитудами.

Различают изгибно-крутильный и панельный флаттеры.

Панельный флаттер начали изучать с 1947

г.

после

открытия

А. А. Ильюшиным

закона

плоских сечений

в

аэродинамике

больших

сверхзвуковых

скоростей

[37].

ниях

пластинки

бесконечной

ширины,

движущейся в

газе

с большой сверхзвуковой

скоростью V [141].

Введем

в плоско­

сти пластинки ось координат ох,

направление

которой

совпадает

с направлением движения.

имеет

вид

Как

известно

[91],

уравнение равновесия пластинки

д х 2

'

ду2

дхду

(V.3.1)

где q — интенсивность

нагрузки,

распределенной по

верхней

поверхности пластинки,

М х ,

М у —

изгибающие

моменты,

д х 2 = ~ У'

(V.3.2)

0

( t -

v t

- v

t -

h)

^ ( Ti) £Д s

) e ( тз)

3

0

0

0

где

{i) =

— z

^

(w (x,

t) — прогиб

пластинки).

Заметим,

что в случае отсутствия нелинейного вязкого члена,

т. е.

при G =

0,

эта

задача

была рассмотрена в работе

[76].