Файл: Решение задач машиноведения на вычислительных машинах [сборник]..pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 93
Скачиваний: 0
друг от друга по величине. Поэтому полезно иметь некоторое предварительное представление о диапазоне существенных частот исследуемой динамической системы.
Таким образом, определение коэффициентов передаточной функции по частотным характеристикам с помощью эквивалентных звеньев сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений. Особенностью получаемой системы является то, что правые части уравнений составляются по результатам измерений определенных физических величин. При этом неизбежны ошибки измерений. Неточность исходных данных порождает ошибки в ре шении, так как изменение правых частей в пределах заданной точности влечет за собой изменение решения.
Предлагаемая процедура идентификации обладает преимуще ством по сравнению с методами, описанными в работе [81, где элементы матрицы коэффициентов алгебраической системы из вестны приближенно. Это преимущество заключается в том, что независимо от обусловленности [ 1 0 ] матрицы более точный расчет всегда дает метод, оперирующий с точной матрицей коэффициентов
инеточными правыми частями, чем метод, допускающий неточность
ив элементах матрицы, и в правых частях [10]. Анализ зависи
мостей (1 0 ) — (11) эквивалентных «постоянных» времени ТА, и Т \ от частоты а) позволяет сделать некоторые суждения о «вырожде нии» системы высокого порядка в звено второго порядка.
Качество переходного процесса системы зависит от чувстви
тельности |
эквивалентных |
параметров Т \, |
Т \ к изменению |
частоты со. |
После того как |
установлено, что |
изучаемая система |
устойчива, можно сделать некоторые заключения о характере протекания переходного процесса, исследовав степень дрейфа
значений обоих |
эквивалентных параметров Т*Ах, Т \ от Достоянных |
|
значений в зависимости от частоты возмущающей силы. |
||
\ Т \ = |
—Л3'.0РЛ«> + |
Л-соЗЛш — .. . - f (—1) 2 Лго)«-2А<о; |
А (Т\)2= |
—^ 4сорЛсо |
S |
А6(|>зЛо) — ... — (—1)2А5а)*-3Ди), |
||
где о)р — резонансная частота.
При малом дрейфе значений эквивалентных параметров в ре зонансных режимах сложная система должна приближаться к си стеме второго порядка как по частотным свойствам, так и по ха рактеру протекания переходного процесса. Это подтверждает утверждение, известное в технической литературе как правило А. Ю. Ишлинского [1].
|
Л И Т Е Р А Т У Р А |
1. Н. |
Т. Кузовков. Теория автоматического регулирования, основанная |
на |
частотных методах. М., Оборонгиз, 1960. |
2.О. Б. Балакшин. Расчет частотных характеристик и границы устойчи вости линейной динамической системы высокого порядка методом эк-
52
Бивалентных звеньев второго порядка. — Сб. «Автоматизация исследова ний динамики машин». М., «Наука», 1973.
3.М . Ф. Диментберг. Идентификация стохастической системы. — Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, 1969, № 2.
4.Справочник по динамике сооружений. М., Стройиздат, 1972.
5.Л. И. Штейнволъф. Динамические расчеты машин и механизмов. Москва—Киев, Машгиз, 1961.
6.А. Ф. Бурденко, В. Ф. Флора. Определение оптимальных параметров упруго вязкого демпфера при наличии затухания колебаний основной массы. — Сб. «Акустика и ультразвуковая техника», вып. 7. Киев, «Техника», 1972.
7.Я . Г. Пановко. Введение в теорию механических колебаний. М., «Наука», 1971.
8.Р. М. Юсупов. Получение информации об управляемом процессе в само
настраивающихся системах. М. — Л ., «Энергия», 1966.
9.Д. К. Фаддеев, В. II. Фаддеева. Вычислительные методы линейной алгеб ры. М., Физматгиз, 1960.
10.Дж. Форсайт, К. Молер. Численное решение систем линейных алгебраи ческих уравнений. М., «Мир», 1969.
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СТРУКТУРНЫХ ЧИСЕЛ К РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ
АНАЛИЗА МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ
С. А. Добрынин, Г. И. Фирсов
В статье рассматриваются некоторые вопросы решения задач анализа механических систем с помощью метода структурных чи сел, разработанного С. Беллертом и Г. Возняцки [1].
Прежде чем перейти к основным положениям метода, остано вимся вкратце на построении топологической модели механической системы, которая представляет собой совокупность полюсных уравнений отдельных ее компонент (инерционной, упругой, дис сипативной) и математического описания порядка соединения этих компонент, определяемого некоторым графом. В зависимости от способов измерения переменных, входящих в уравнения отдель ных компонент системы, различаются последовательные (сила, момент) и параллельные (линейное перемещение, угол поворота) переменные.
Функциональная связь между последовательными и парал лельными переменными для отдельных компонент системы опре деляется полюсными уравнениями этих компонент:
инерционной
Q(t) = mp2q (t),
упругой
Q(t)— cq (t),
53
диссипативнои
Q (t) = bpq (t),
где Q (t) — значение последовательной переменной, т. е. значение переменной, которая может быть замерена прибором, соединенным последовательно с данной компонентой; q (t) — значение парал лельной переменной, т. е. значение переменной, которая может
•быть замерена прибором, соединенным параллельно с данной компонентой; р — дифференциальный оператор, p — d/dt; т — ко эффициент инерции (масса или момент инерции); с — коэффи циент жесткости; Ъ — коэффициент, характеризующий диссипа тивные свойства компоненты.
Связь между параллельными и последовательными перемен ными для всей системы в целом выражается линейным графом, каждой дуге которого поставлена в соответствие последователь ная или параллельная переменная. Правила построения графа приведены в работе [2].
Использование топологических моделей позволяет существенно упростить решение таких задач анализа линейных колебательных
•систем, как
—вывод уравнений движения механической системы;
—вывод характеристического уравнения механической си стемы;
— установление форм свободных колебаний;
—исследование вынужденных колебаний системы;
—получение передаточных функций системы;
—анализ чувствительности передаточных функций к изме нениям параметров системы.
Основные практические трудности при использовании тополозических методов анализа линейной механической системы по ее графу связаны со сложностью и громоздкостью алгоритмов для перебора всех деревьев, их дополнений или других детерминантных подграфов. Методику анализа системы по ее графу и запись промежуточных операций можно существенно упростить, исполь зуя операции над полем модуля 2 и символику теории мно жеств [3].
Формализация топологических методов анализа достигается переходом к теоретико-множественным методам, в которых исход ная модель системы отображается частично упорядоченными мно жествами символов, изоморфных элементам исходной модели си стемы, и применению операций над полем модуля 2. Эти ме тоды, отличающиеся высокой степенью формализации, могут быть использованы и для анализа линейных механических систем.
Операции над полем модуля 2, применяемые по отношению к подмножествам номеров ветвей графа, лежат в основе ряда мето дов анализа динамической системы по ее графу, одним из которых является метод структурных чисел [1].
54
Структурным числом |
А называется система расположенных |
в таблице натуральных |
чисел |
а11а12 ***а1п д _а21а22 **• а2п ?
•• • • • •
ат1ат2 *' ' ^тп
где все столбцы соответствуют деревьям ненаправленного графа. Структурное число представляет собой таблицу, индексы столб цов которой являются кодами ветвей дерева графа системы. Будем рассматривать структурное число как совокупность столб цов ак1 т. е.
|
Л ={<?!, а2, .. ая), |
(i=£j), |
|
которые |
представляют собой неупорядоченные |
множества эле |
|
ментов |
OLik |
|
|
|
а к = { а \к^ а 2 к ' ‘ * *’ a m k k } i |
^ i k l ^ ^ j k |
(* 7 ^ / ) |
и считаются равными, если они содержат одинаковые элементы независимо от их последовательности.
В соответствии с определением операций над полем модуля 2 структурное число не может содержать равных столбцов.
Анализируя свойства графа системы, можно определить сле дующие основные свойства структурных чисел и правила действия с ними [ 1 ].
Структурное число не изменяется при перестановке столбцов, перестановке строк и перегруппировке элементов в отдельных столбцах.
Два структурных |
числа считаются |
равными (А = В ) тогда |
|
и только тогда, когда |
(a g А) о (а £ В) |
|
|
или |
|
||
В о (Ya) (а £ А о |
а С В), |
||
А = |
т. е. когда они имеют одинаковые столбцы, независимо от порядка элементов в столбцах и порядка расположения столбцов.
Следует заметить, что равенство структурных чисел представ ляет собой отношение эквивалентности, т. е. является рефлексив ным, симметричным и транзитивным.
Суммой структурных чисел А и В называется структурное число С, содержащее все столбцы чисел А и В, за исключением идентичных столбцов, и не содержащее других столбцов, т. е.
симметричная |
разность множеств А и В. |
, |
С = {х\(х£А) \/( х £ В ), х ^ А П В ) . |
55*
Произведение двух (или п) структурных чисел А и В равно структурному числу С, столбцы которого представляют собой суммы (в теоретико-множественном смысле) всех возможных комби наций столбцов чисел А и В, за исключением наибольшего четного числа одинаковых столбцов и таких столбцов, в которых какойлибо элемент повторяется
|
C = |
{a\Jb\aC\b = |
(Z), |
г (a (J Ь) £ {1,3, .. .} |
А, Ь£В}, |
|||
где |
г (aUb) — число |
|
одинаковых |
элементов |
в произведении |
|||
С=АВ. |
любого структурного числа |
справедливы следующие со |
||||||
. |
Для |
|||||||
отношения: |
. . • а «1 |
|
|
|
||||
|
|
OCj i |
п |
а 1к |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
* |
• |
• |
• |
• • • |
|
|
|
а ,»1 |
• ' |
|
к = \ |
G-m jck |
|
|
|
|
* а ти |
|
|||||
|
|
а 1/с |
|
|
|
™ к |
|
|
|
|
• • • |
= п 1а ,-* 1= II S |
|
||||
|
|
|
|
|
г— 1 |
*■=1 |
|
|
где S4k — одноэлементное структурное число. Структурное число А всегда можно представить в виде
л = 2 Ш . « .
кг
Вметоде структурных чисел используются также частично упорядоченные множества, названные производными структурного числа.
Прямой или алгебраической производной структурного числа по элементу а, которую будем обозначать символом дА/д а, называется структурное число, в котором удалены все столбцы, не содержащие элемента а, а в остальных столбцах этот элемент вычеркнут.
дА1да = {Ьк \Ьк = ак — {а), а.£ак, ак £А).
Обратной производной структурного числа по элементу а, которую будем обозначать оА/оа, называется структурное число, в котором вычеркнуты все столбцы, содержащие элемент а.
оЛ/За = {ак | а (£ак, ак £А).
Аналогично с матричным исчислением на множестве структур ных чисел можно определить различные функции, например, детерминантную функцию и функцию совпадения.
56