Файл: Решение задач машиноведения на вычислительных машинах [сборник]..pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 90
Скачиваний: 0
введения понятия эквивалентных динамических звеньев [2]. Эти звенья адекватны анализируемым сложным системам в смысле локального соответствия их частотных характеристик.
Следует подчеркнуть, что имеется в виду не широко распро страненная аппроксимация сложных систем простыми, например в области резонансов [3, 41, а точная замена системы высокого порядка при исследовании ее частотных свойств одним или двумя звеньями второго порядка, параметры которых устанавливаются при помощи тождественных преобразований.
В статье в развитие работы [2] рассматривается применение эквивалентных звеньев второго порядка для решения задач опре деления областей резонансов, антирезонансов и идентификации параметров линейной стационарной системы.
Как известно [1], частотная характеристика W(ju>) линейной стационарной системы может быть записана в виде
где К 0 — коэффициент передачи; А р В { — постоянные времени; аз — частота; WA(j w), W*B(j со) — полиномы степени т и п соот ветственно.
Можно показать [2], что линейная динамическая система любого порядка может быть представлена в виде двух эквива лентных звеньев второго порядка, а в частном случае, при ра венстве числителя (1) единице, — одного эквивалентного звена второго порядка. При этом выражения W*A(j ш) и W*B(j ш) являются частотными характеристиками соответствующих эквивалентных звеньев. Действительно, на основании [2] можно записать ампли тудно-частотную W ( ш) и фазо-частотную 'f ( ш) характеристики сложной динамической системы через аналогичные характеристики
двух эквивалентных звеньев |
второго порядка. |
|
||
|
|
|
|
( 2) |
®(<■>) = |
— I |
И |
— <рЬ И ]. |
( 3) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
|
|
|
|
(5) |
|
|
|
|
( 6) |
Чв И = |
arc tg |
, _ |
. |
(7) |
48
Здесь эквивалентные «постоянные» времени Т Т \ , T*Bl и Т \ характеризуют степень демпфирования колебаний эквивалент
ных звеньев и их раскачивание и |
являются функцией частоты о>: |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z-1 |
|
|
П , |
= |
в х- |
в у + |
В ъш* |
- |
|
|
|
1 ) ~ В |
(8) |
|
(Пу- |
= |
в 2 - |
в , .о* + |
|
|
|
|
|
|
|
(9) |
T*Al = |
/lj --- |
ЛдО)2 ~[- Л 5С1)4 — |
. . . |
+ |
( — |
|
|
( 1 0 ) |
|||
(т х )2 = л 2- л ^ + а ^ — |
|
|
|
8 |
|
|
|||||
. . . |
— |
( — |
1 ) ¥ л у - \ |
( 1 1 ) |
|||||||
где к=пг—1, |
/=/??, s—/г—1, |
/ = /г |
при |
|
т, |
п |
нечетных; |
к=т, |
|||
1—т—1, |
t — n—1 |
при т, п четных. |
|
|
равенства |
нулю |
|||||
В практически часто встречающемся случае |
|||||||||||
коэффициентов В- частотная характеристика сложной системы выражается через параметры одного эквивалентного звена второго порядка. Это обстоятельство уже использовалось для анализа систем четвертого порядка без обобщения на более высокие по рядки [5, 6]. При этом эквивалентные параметры могут рассмат риваться как приведенные параметры сложной системы. Такой подход позволяет анализировать и рассчитывать частотные харак теристики сложных динамических звеньев на основании простого изучения влияния «дрейфа» параметров соответствующего экви валентного звена на изменение его частотных свойств. Для этих целей можно использовать известные графики амплитудно- и фазо-частотных характеристик звена второго порядка, построен ных в безразмерных координатах с параметром ty*=T\IT\.
Важно подчеркнуть, что эти графики используются также при расчете частотных характеристик системы, записанной с помощью
двух эквивалентных звеньев. В этом случае значения |
WA( ш), |
W*B( (о), $(<!>) и ув( со) снимаются раздельно с графиков, |
a W ( о>) |
и ( с») рассчитываются по формулам (2) и (3). |
|
Заметим, что одно из удобств анализа частотных характеристик в форме эквивалентных звеньев состоит в том, что отпадает необ ходимость в каждом отдельном случае производить отделение действительной и мнимой частей W(j ш).
«Полный резонанс» сложной системы, как следует из формулы (4), наступает при следующих условиях: Т \ о>=1 и Т*А= 0, т. е. при отсутствии «обобщенного трения» и равенства частоты внеш
него |
возмущающего воздействия эквивалентной частоте собствен |
|
ных |
колебаний <d= Щ)А= И Т \ . Как следует из (10), |
условие |
Т \ —0 ввиду зависимости величины этого параметра от |
ш может |
|
иметь место лишь при вполне определенных значениях частоты шк, которую назовем критической. Таким образом, для возникновения полного резонанса в сложной системе необходимо равенство трех
частот: |
эквивалентной частоты собственных |
колебаний системы |
4 |
Р еш ен и е за д а ч |
49 |
ш5л» критической частоты озк и частоты внешнего |
возмущающего- |
||
воздействия <*>, т. е. (%л = (*)к= оз. |
0 для |
со= |
ампли |
При наличии «обобщенного трения» |
|||
туда колебаний данной координаты будет иметь конечную ве личину.
«Полный антирезонанс» в соответствии с (5) возникает при выполнении условия Т*в = 0 и равенства частоты внешнего возму щающего воздействия эквивалентной частоте оз= щв = 1/Твг* При этом передаточная функция системы становится равной нулю, т. е. колебания, соответствующие данной координате, полностью
отсутствуют. |
Условием |
возникновения |
полного |
антирезонанса |
|
в сложной системе является равенство |
частоты внешнего возму |
||||
щающего воздействия оз эквивалентной частоте |
щв и критической |
||||
частоте оз^, |
получаемой |
из условия 71?,=О, |
т. |
е. оз= оз'к= щв- |
|
В качестве примера рассмотрим так называемый динамический гаситель колебаний, описываемый следующей системой уравне ний (7):
Мх1 к1х1— Ь2 (х2— ajj) — к2 (х2— х х) = Р sin Ы,
тх2-(- Ъ2 (х2—х^) -j- к2 (х2— хг) = О,
где М — масса объекта; пг — масса гасителя; кх и к2 — коэффи циенты жесткости; Ъ2 — коэффициент демпфирования гасителя; Р sin азt — возмущающая сила.
Исключив переменную х2, по теореме Крамера получим
(■AlP4 + АзР>+ A.lP* + AlP+ \ ) Xl = K0 {В.^- + BlP + 1) Р sin Ы,
г д е |
|
|
|
. |
|
Мтп |
|
А * |
= |
k l k i ; |
|
А |
— |
Ь2 |
• |
A l |
— |
к.2 |
- |
А(^7 - |- ТП) ш
|
II |
^ ""1ч< |
•rv |
А
в ,•J
kijn —}—k^m |
ky&I |
( 12) |
к^к |
|
|
|
|
|
m |
В1 = к. |
|
1Й’ |
|
О т с ю д а
Т % = В , - ( П , ) 2 = в 2; |
T%Т = A , - А У ; ( T l f = А2 - А^*. |
Из анализа (12) и (5) следует, что антирезонанс в данной си стеме возможен вследствие независимости В± от о> лишь при ра венстве коэффициента В± нулю, т. е. при отсутствии демпфиро вания.
Заметим, что эффект «антирезонанса», полезный в системах виброзащиты, нежелателен в системах автоматики, так как можетвызвать «разрыв» цепи управления.
Идентификация системы, т. е. определение параметров мате матической модели по экспериментальным данным, в частности: по дискретным значениям частотных характеристик объекта, мо жет в ряде случаев быть проведена с привлечением понятия экви-
50
валентного звена второго порядка. Предполагается, что точки экспериментальной частотной характеристики известны для диск ретного набора частот c»v, так что — U{ o>v)+ /F ( (*>v)-
Для определения дробно-рациональной передаточной функции но заданным свойствам частотных характеристик известно много методов [8]. Одним из возможных способов идентификации ли нейной динамической системы с заданной структурой является расчет коэффициентов передаточной функции по измеренным зна чениям частотных характеристик с помощью параметров экви валентных динамических звеньев.
Рассмотрим случай, когда числитель передаточной функции равен единице, т. е. неизвестны коэффициенты A i знаменателя передаточной функции. Количество неизвестных коэффициентов s—п. Для определения коэффициентов надо иметь п уравнений, связывающих эти коэффициенты. Решение задачи идентификации будет проводиться следующим образом. Выбирается к различных частот (dv(v= 1, 2, . . ., к). Для этих частот определяются значения амплитуд Av= /1(ojv) и фаз <pv= ( mv), характеризующих положе ния к точек амплитудно-фазо-частотной характеристики (АФЧХ) системы. Каждой паре значений A v и <pvсоответствуют определен ные значения параметров эквивалентного звена Т\х и Т \
Учитывая, что Т \ и Т \ являются функциями параметров А { исследуемой динамической системы, в результате получим систему линейных алгебраических уравнений. Так как количество неиз вестных коэффициентов равно п, то необходимое число частот к равно п/2. Таким образом, для определения п коэффициентов передаточной функции системы после снятия п/2 точек АФЧХ имеется алгебраическая линейная неоднородная система из п 'равнений
Можно показать [9], что в общем случае определитель этой системы отличен от нуля. Поэтому система имеет решение и притом единственное. Коэффициент усиления А0 определяется при посто янном входном воздействии типа единичного скачка (для стати ческой системы).
Точность метода при отсутствии помех определяется погреш ностью аппаратуры, используемой для снятия частотных характе ристик. Во избежание увеличения погрешности из-за пропадания значащих цифр при вычислениях следует стремиться выбирать рабо чие частоты cdv таким образом, чтобы соответствующие им значения как амплитуд Av, так и фаз <pv в достаточной степени отличались
4* |
51 |