Файл: Попов, Н. Н. Динамический расчет железобетонных конструкций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 91

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Тогда из (3.132)

и (3.133) получим

 

 

а п

-

4і

*

 

(3.147)

ЛГШп

(n = 1,3,5,...);

 

 

Я

 

 

 

 

 

nn

X

 

и

 

у

sm —

 

 

n3-

ulll Ш«

(3.148)

іШСОі

 

n

 

Дифференцируя (3.148), находим

 

 

 

 

 

tin

 

 

 

 

 

sin ---- X

 

 

пт

 

I

cos cdn t;

,(3.149)

 

n

 

 

 

 

 

 

nn

X

 

ЛГ = 4t/а COt

 

sm —

 

 

Я I

sin t.

(3.150)

 

 

 

 

 

Дальнейшее дифференцирование приводит к расходящим­ ся рядам. Поэтому не могут быть определены производные,

входящие в уравнение (3.12), а также и |^ § , вследствие чего

нельзя определить перерезывающую силу в балке. Отме­ ченное обстоятельство характерно для уравнений в част­ ных производных, т. е. входящие в них производные для некоторых решений могут не существовать. Физический смысл этих решений рассмотрим в § 17, а сейчас исполь­ зуем выражения (3.148) — (3.150) для получения расчетных зависимостей.

Сходимость рядов (3.149) и (3.150) очень медленная, что вызывает необходимость учитывать при расчетах большое число членов (несколько десятков). Это затруднение можно обойти, если воспользоваться тем, что ряды в (3.149) и (3.150) могут быть в отдельные моменты времени точно про­ суммированы. В работе [5] такое суммирование проведено в моменты

 

 

Т

2 т

JST

8 Т _

Т

 

 

32 ’

32 ’

32 ’

32

4 ’

а в

работе

[53] — в

моменты

 

 

 

 

Т _

_2Г

_ЗГ

67]

 

 

2я

24”’ 2 4 ’ 2 4 ’

24

’

где

 

соответствующий

низшей частоте

Т = ------- период,

 

Cüi

балки.

 

 

 

 

колебаний

 

 

 

 

134

Запишем выражение (3.150) для изгибающего момента в виде

M(x,t) =

^ K ( x , t ) ,

 

 

 

(3.151)

 

 

 

 

Я 2

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

ПП

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s i n ---- X

 

 

 

 

K{x,t) = ±

2

 

 

 

 

 

I

sin П2О»! t.

(3.152)

 

 

 

 

 

п

п =

1, 3,

5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В моменты времени

Т

,

...,

 

т

величины

sin

п2toj и

^

 

 

cos п2юxt имеют одинаковые

значения при

п —

1, 5, 7, 11,

 

ß

 

 

 

 

 

и при п = 3, 9, 15, 21, .... Поэтому ряд (3.152) в эти'момен­ ты времени равен:

где

К = о с

і (х) +

a 2S 2(x),

(3.153)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П К

 

 

 

 

 

 

 

s in ---- X

 

 

 

 

 

 

I

 

(3.154)

 

 

 

 

 

 

 

 

л =

1, 5, 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П К

 

 

 

 

 

 

sin —

X

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

Зпк

 

 

 

 

 

 

s i n

— ;—

X

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.155) .

 

n = I,

3,

5, ...

 

 

 

 

a 1 = sinn 2 cö1/

 

при

л =

1,5, 7, ...

(3.156)

а2 = sin п2сох t

 

при

 

 

 

 

« = 3 ,9 ,1 5 ,__

Учитывая

разложение

 

 

 

 

 

 

 

 

- f

о < х < 1 ,

 

S

 

 

4

 

 

 

 

 

 

4

 

 

< 0,

 

 

 

------J----- / < х

І С Х С 2 1 ,

л = I, 3, 5,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

-7-

2 1 < х < 3 1

и т. д.,

 

 

4

 

 

 

 

получим, что

(х) и Sa (х) представляют функции, изобра­

женные на рис. 37.

 

 

 

 

 

 

135 .

Значения величин (3.156) равны:

при

1 =

т

“ і = : 0,459;

 

a 2 = 0,707;

24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ßi =

0,966;

 

ß2 = 0,707;

при

 

Т

«i =

0,5;

 

— - l ;

 

12

 

 

 

 

ßi = 0 ,866; ß2 = 0 ;

при

 

Т

 

: a 3 = 0

,707;

 

 

 

8

a i —

 

 

 

 

 

 

ß2= o ,,707;

 

 

 

Т

ßi =

 

при

 

«i =

0,867;

 

a 2 =

0 ;

 

6

 

 

 

5Т

ßi =

0,5;

 

ß2 =

- 1;

при

 

 

0,966;

 

a 2 =

— 0,706;

 

24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

ß i - 0,258;

 

ß2=

0,707;

при

tG=

«i = (x2 = 1;

ß i=

ß2 = o.

 

 

4

 

 

 

 

 

Используя выражения (3.153) — (3.157) и данные работы [5], построим эпюры безразмерного изгибающего момента

К = >которые изображены на рис. 38.

Эпюры моментов имеют непривычный вид для балки, не несущей сосредоточенных усилий. В этом случае на опорах и в пролете наблюдаются скачки моментов. Между скачками изгибающие моменты постоянны, т. е. на этих участках балка работает в условиях чистого изгиба и ее

136

ось деформируется по дугам окружности. На опорах изги­ бающие моменты обращаются в нуль скачками. Перере­ зывающие силы всюду равны нулю, за исключением точек разрыва изгибающих моментов, где перерезывающие силы не определены.

- .

К 10,55

 

 

 

0,55

 

 

0,78

 

0,98

1

 

 

 

 

 

 

 

 

t.

1

 

 

É

 

1

. f

А А

 

 

7_

 

Т

. з? 0

1 1 НИН ШШ б А

t

Т '32

 

 

 

 

 

 

8

4

0,28

 

 

8 8

 

 

 

 

 

8

 

 

пипя

 

 

 

„

 

 

,0488

 

 

 

1,156

 

t

 

 

ж

 

 

 

 

 

 

,0,578

/ ’

1

 

 

9

2_

 

 

 

 

 

 

Т

24

■

 

 

±

 

 

 

1

А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

0 м

 

 

 

 

 

t . г

 

 

 

 

 

 

 

 

Т '

24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

7

32

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1.5

 

 

 

 

 

 

4

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А =і_

 

А

 

' і__А

 

 

 

 

 

 

 

-I

Т

32

 

 

 

 

 

]_-

 

А-

 

 

 

 

 

4

 

Т

24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'

1,523

 

 

 

 

 

 

з

 

з

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•Ш

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,19

 

 

 

 

 

 

 

 

0,409

t__А

 

 

пш_

 

±__5_ ______

 

 

 

 

ЛИ

 

 

А

 

 

Т

32

 

± ±

 

1

1

 

Т

24

А

 

 

 

 

 

 

8

4

 

8

8

 

 

 

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,71

 

 

 

U8 0,98

 

1-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т~ 9

 

 

 

 

 

 

 

 

t _ 7

,____________

 

Рис.

38.

Эпюры

изгибаю­

Т

32

_ А

А ' А

 

 

 

8 8

а

8 ,

 

щих моментов в шарнирно-

 

 

 

 

 

 

опертой

 

балке

в

различные

-L-A

 

 

 

 

моменты

времени

 

 

 

Г " 4

 

 

 

 

Используя эпюры изгибающих моментов (см. рис. 38) в отдельные моменты времени, можно получить законы из­ менения во времени изгибающих моментов в отдельных сечениях балки. На рис. 39 изображены графики величин

К (X, t) для сечения при х = ~

и для

сечений вблизи чет-

I

х

3

I + & (е — малое

вертей пролета при х = —----- е,

 

137

положительное число, меньшее Ѵ8). Законы изменения момента во времени совершенно различны и не соответст­ вуют изменению во времени прогиба балки, происходящему согласно (3.148) по первой гармонике.

Рис. 39. Изменение во времени изгибающих момен­ тов в середине и четверти пролета шарнирно-опер­ той балки

Прогиб балки достигает наибольшего значения в момент

і6 = -^-и из (3.148) равен:

 

 

 

 

 

 

«я

 

 

 

4гюі I*

 

sin — X

 

 

 

 

I

 

 

 

 

я5 В

 

 

па

 

4й0і I4

Я'

п

 

2\ _

KOl I2

(3.158)

я6 В

 

. —

(Іх-

X2)

( І Х — Х * ) .

 

81*

 

 

2яа В

 

При х = 2

имеем

 

 

1(01 Iх

 

 

Ут

1_

Т_

 

(3.159)

 

2

4

8яа В

 

 

Изгибающие моменты изменяются с более высокой час. тотой, принимая в промежутке времени 0 < t < Т не­ сколько раз максимальные и минимальные значения. Изги-

138

Смотрите также файлы