Файл: Попов, Н. Н. Динамический расчет железобетонных конструкций.pdf

бающий момент в середине пролета достигает наибольшего

Рассмотрим теперь расчет балки в пластической стадии. Как следует из рис. 39, в начальный промежуток времени

Т

0 < < 2 4 большие значения имеют изгибающие моменты

в сечениях вблизи четвертей пролета. Поэтому при действии импульсов достаточно большой интенсивности в балке воз­ можно образование двух шарниров пластичности. Этот довольно редкий случай рассматривать не будем, поэтому примем, что шарнир пластичности образуется в середине пролета. Движение балки в пластической стадии -можно описать уравнением (3.14-2). При определении начальной

угловой скорости фо необходимо знать количество движе­ ния балки в конце упругой стадии, которое с учетом выра­ жения (3.149) равно:

п= 3,9,15,...

Величины ßi и ßa приведены в (3.157).

139

Рис. 40. Изменение но времени количества движения балки

Время t о легко находится при использовании графика

(см. рис. 39) для /С ( - 2 -, f) •

Для определения прогиба в конце упругой стадии можно пользоваться с достаточной точностью первым членом ряда (3.148), т. е.

Максимальный пластический прогиб балки равен:

о

, фо- (3.166) 9644p

0

Учитывая, что

получим величину полного упругопластического прогиба балки:

Используя (3.164), это выражение представим в виде

(см. рис. 39 и 40) были вычислены значения безразмерного прогиба:

1 і график которого в зависимости от — м \ / ~ изображен

на рис. 41 сплошной линией.

Найдем теперь упругрпластический прогиб балки, учтя в рядах (3.149) и (3.150) только по одному члену, т. е. при­

І41

Тогда время конца упругой стадии определяется из выра­ жения

где К принимается согласно (3.164). Количество движения балки равно:

лл

Из (3.167)

32t

Фо: л^ті cos сох t.

После преобразований получим для максимального упруго­ пластического прогиба балки следующее выражение:

Графически эта зависимость изображена пунктиром на рис. 41. Как видно, она дает значения, очень близкие к зна­ чениям, получаемым по формуле (3.169), которая выведена с учетом точных выражений (3.149) и (3.150).

§ 17. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПРОГИБОВ БАЛКИ

Рассмотрим более подробно деформированное состояние балки, описываемое выражением (3.148). Эта зависимость не дает возможности определить непосредственно перерезы­ вающие силы и производные, входящие в исходное диф­ ференциальное уравнение (3.12). Однако значения этих величин можно определить в отдельные моменты времени (3.157), в которые точно суммируется ряд (3.148). Согласно рис. 38, эпюры изгибающих моментов в балке в моменты времени (3.157) представляются ступенчатыми функциями с разрывами в отдельных точках, координаты которых обозначим xt. Дифференцируя эти функции по х, находим перерезывающие силы Q. 'Являясь производной от ступен­ чатой функции, сила Q всюду равна нулю, кроме точек раз­ рыва xit в которых производная не существует в обычном понимании дифференциального исчисления. Однако эта производная может быть определена в некотором «обоб­ щенном» смысле, применяемом в теории обобщенных функ­

142

ций [13]. Эта теория интенсивно развивается в последние 30—40 лет в связи с потребностями теории дифференциаль­ ных уравнений в частных производных. Первые работы в этой области принадлежат С. Л. Соболеву, в которых были введены понятия обобщенной производной и обобщенных решений дифференциальных уравнений [6 6 ].

Понятие обобщенной функции разберем на примере функций, представляющих собой нагрузки, которые дейст­ вуют на балку. Пусть на систему действует распределенная по пролету нагрузка р (х), имеющая в каждой точке х оп­ ределенные значения. В этом случае можно говорить, что функция р (х) задана точечно; ее называют обычной функ­ цией при дополнительном требовании интегрируемости. Вычислим работу, совершаемую нагрузкой р (х) в резуль­ тате перемещения балки у (х):

Если имеются значения F (у) при всевозможных проги­ бах у (х), то. совокупность этих значений (функционал) также полностью определяют функцию р (х). При этом можно го­ ворить, что р (х) задана как обобщенная функция, т. е. не точечно, а в интегральном смысле (3.174). Задание функций с помощью функционалов является более общим и позволяет определить и те функции (нагрузки), которые точечно не определяются. Рассмотрим, например, единич­ ную сосредоточенную силу, приложенную к балке в точке

скоординатой х 0. Работа этой силы при перемещении балки

у(х) равна:

Определить сосредоточенную силу в виде обычной функ­ ции р (х) нельзя. В этом случае говорят, что сосредоточен­ ной силе соответствует обобщенная функция, так назы­

143