Файл: Попов, Н. Н. Динамический расчет железобетонных конструкций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 87
Скачиваний: 0
В теории обобщенных функций вводится понятие обоб щенной производной, причем оказывается, что любая функция (как обычная, так и обобщенная) имеет такую производную. В частности, дельта-функция б (я — х 0) яв ляется производной от ступенчатой функции, равной нулю при х < х 0 и единице при х > х 0. Производная /г-го по рядка от б (х — я,,) равна обобщенной функции б</г> (х —
— л'о), определяемой равенством
I
Fk (У) = S ^ ( х - х 0) у ( X ) dx = (-1 )* уШ (х0). |
(3.177) |
о |
|
При k = 1 имеем |
|
I |
|
Fi ІУ) = $ S' (х —х0) у (х) dx = — у' (*„): |
(3.178) |
о |
|
Поэтому б '(х — х 0) соответствует сосредоточенному еди ничному (отрицательному) моменту, приложенному к балке в точке X = х 0, так как его работа при перемещении равна выражению (3.178). Таким образом, все сосредоточенные усилия, рассматриваемые в механике, представляются обоб щенными функциями. С помощью таких функций могут определяться воздействия на конструкции более общего вида, например
I
р 2(У) = $ б" (х— х0) У (х) dx = у" (х0). |
(3.179) |
о |
|
Дадим физическую интерпретацию воздействия, соот ветствующего функции б" (х — х 0). Для этого представим себе, что к балке в точке х = х 0 + Дх приложен сосре
доточенный момент |
(здесь 1 — размерная единица), |
а в точке х = х 0— момент ^— — J . В пределе при Дх-^-0
возникнет некоторое воздействие, которое назовем сосре доточенным «бимоментом». Его работа при перемещении балки у (х) равна:
lim |
~~ У' (*„ + |
А*) —г - 0 '(хо) |
Дх->-0 |
Дх |
Дх |
—1im У'(*. + А*)-<О хь) = / (
Дх-> о |
Дх |
|
144
т. е. бимомент, согласно (3.179), представляется обобщенной функцией б" (х — х в).
Отправляясь от бимомента, можно определить воздей ствие, соответствующее б'" (х — х 0), и воздействия, харак теризующиеся производными от дельта-функции любого порядка.
Продолжим анализ решения (3.148). Обозначим через Дг величину скачка изгибающего момента в точке х = хг (см. рис. 38). Тогда перерезывающая сила, определяемая
как обобщенная производная Q = |
будет |
равна в мо |
менты времени (3.157): |
|
|
‘ Q = A12 A i 8 ( x - x i); |
Ах = ^ , |
(3.180) |
і |
я - |
|
т. е. перерезывающие силы сосредоточены в отдельных се чениях балки. Найдем в эти же моменты времени силы инер ции балки. Из уравнения колебаний балки и выражений (3.180) имеем
= |
= А 1 ^ 1А і 6 ' ( х - х 0), |
dtдх |
і |
и из (3.178) следует, что инерционные силы вызывают сосре доточенные моменты величиной у4хАг, приложенные в точ
ках |
х = хг. Эти моменты и |
вызывают скачки |
в эпюрах |
||
изгибающих моментов балки (см. рис. 38). |
|
||||
Рассмотрим особенности движения балки, вызванного |
|||||
мгновенным |
импульсом |
S 0, |
сосредоточенным |
в ' точке |
|
X = |
х 0. Запишем выражение для импульса в виде |
||||
|
|
і (х) = |
S 06 |
(х — х 0). |
(3.181) |
|
Коэффициенты разложения (3.133) для функции (3.181) |
||||
равны: |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S0 Гб (х—х0) Х п (х) dx |
|
||
|
п ~ |
о |
|
So Х п (а'о) |
|
|
I |
|
~ I |
|
|
|
|
J Хп (X) dx |
j"Хп (х) dx |
|
|
|
|
о |
|
о |
|
Для шарнирно-опертой балки получим
°° |
ПК |
Siü--- хо |
|
у(х, t ) = — |
1— sin — xsin2«2® ^. (3.182) |
л — 1 , 2 , 3 . . . . |
|
145
В данном |
случае из (3.182) нельзя |
определить кривизну |
, а следовательно, и изгибающий момент. Пусть импульс |
||
приложен |
в середине пролета балки |
= -g-) . Тогда |
|
У(х, t ) ^ ^ ^ y |
* |
( x , |
t), |
|
|
(3.183) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 k — 1) яд: |
|
|
|
|
||
0 = |
(2 k - l ) 2 |
sin(2ß—l)2« ^ . (3.184) |
|||||
k=i |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. |
42. |
Перемещения |
|
|
|
|
|
балки |
при |
действии |
|
|
|
|
|
сосредоточенного |
|||
|
|
|
|
мгновенного |
импульса |
||
Используя |
разложение |
|
|
|
|
|
|
|
(2k— 1) яд: |
л 2 |
X, |
|
|
|
|
|
s i n ---------------- |
41 |
|
|
|
|
|
|
(2k— l)2 |
|
|
|
|
|
|
>й=[ |
л 2 |
. |
і < х < 1 , |
||||
|
--- |
(i — x), |
|||||
|
|
41 |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.185) |
можно наити |
точные значения |
прогиба |
балки |
в |
моменты |
||
т т
времени t3 = — , i e = — (3.157). На рис. 42 изображены
графики безразмерного прогиба у* {х, і) в эти моменты вре мени. Как видно, перемещение балки осуществляется путем поворота двух ее недеформирующихся половин. Этот пово рот происходит за счет развития деформации изгиба только в среднем сечении балки.
Из выражений (3.184)- и (3.185) получим величину изги
бающего момента |
при |
t — і3 и |
і = ta: |
|
|
М = - Б |
^ |
= л 2 м |
( х — - L ) , |
(3.186) |
|
где А 2 — ~~jf~» |
а |
а х |
принимается согласно |
(3.157). |
|
Таким образом, изгибающий момент сосредоточен в среднем сечении балки. Из (3.186) получаем, что энергия деформа-
146
ции изгиба балки равна бесконечности. Определим силы инерции. Учитывая (3.186),^имеем
(3.187)
т. е. силы инерции вызывают сосредоточенные в середине пролета определенные выше бимоменты, которые обус ловливают своеобразные прогибы, изображенные на рис. 42.
Таким образом, у решений (3.148) и (3.182) производные, входящие в исходное дифференциальное уравнение, являют ся обобщенными функциями. Такие решения в современной теории дифференциальных уравнений называют обобщен ными [6 , 6 6 ].
Обычно обобщенные решения возникают вследствие слишком сильной идеализации некоторых факторов рас сматриваемой реальной системы. Поэтому .один из способов преодоления особенностей в решениях заключается в более точной постановке задачи. Для балочных конструкций это может быть достигнуто учетом деформации сдвига и инер ции вращения, приводящим к уравнению колебаний балки С. П. Тимошенко (3.6), а также учетом сил сопротивления и непосредственным применением уравнений теории упру гости [49, 67].
Однако выбор более совершенной модели изучаемого явления часто приводит к необходимости решения слишком сложной задачи как в принципиальном, так и в техническом отношении. В то же время обобщенное решение, получаемое при менее строгих предпосылках, может дать для некото рых величин изучаемой системы довольно точные значения. Например, решения (3.148) и (3.182) позволяют легко опре делить прогибы балки. Поэтому подобные решения находят широкое применение в расчетной практике. В связи с этим представляет интерес интерпретация обобщенного решения без привлечения понятия обобщенных функций. Это имеет особенно важное значение в тех случаях, когда расчет конструкций ведется численными методами с применением ЭВМ. Тогда численное решение дифференциального урав нения, в котором производные являются не обычными, а^обобщенными функциями, может не дать результата.
Как известно, самое общее уравнение статики и динами ки механических систем формулируется на основании прин ципа возможных перемещений Лагранжа [35]. Дифферен циальные уравнения движения (равновесия) следуют из этого принципа, если производные, входящие в уравнения,
147
являются обычными функциями, т. е. для реализации дви жения существование дифференциального уравнения в обыч ном смысле необязательно.
Запишем уравнение возможных перемещений для рав новесия балки. При нагрузке р (х), распределенной по про лету, имеем
|
I |
I |
|
|
|
|
[p8ydx— \ M ö ( — ) d x = 0, |
(3.188) |
|||
|
о |
о |
V Р |
' |
|
где 6і/, 8 |
) — вариации |
прогиба |
(возможное |
перемеще |
|
ние) и соответствующей ему кривизны 1/р. Возможными перемещениями в данном случае являются бесконечно ма лые прогибы рассматриваемой балки. Обозначим их через
.V (х), т. е. бу = V (х). Тогда
Ö(у)= -Ö{у") =-(бу)" = —v" (X).
Учитывая, что М = — Ву'\ запишем (3.188) в виде
/ |
|
В\у"ѵ" dx = F(v), |
(3.189) |
b |
|
где через F (ѵ) обозначена работа внешних сил на возмож ном перемещении ѵ. Отметим некоторые свойства функций V (х). Для упругих балочных конструкций условие малости перемещений ѵ (х) несущественно, и поэтому совокупность возможных перемещений включает все упругие прогибы балки. Однако для однозначного определения из уравнения (3.189) прогиба у (х) конструкции необязательно учитывать всю совокупность перемещений. Можно доказать, что дос таточно ограничиться значительно более узкими множества ми возможных перемещений, если только они удовлетворя ют условию полноты вида (2.52) § 8 . При этом все функции из этих множеств обладают непрерывными производными любого порядка. Примером такого множества является совокупность всех форм собственных колебаний балки.
Проинтегрируем левую часть уравнения (3.189), дважды понижая и повышая порядок производной от у. Граничные условия, одинаковые для у (х) и ѵ (х), считаем такими, что проинтегрированные члены обращаются в нуль. Подобные граничные условия называются самосопряженными. К ним относятся, например, условия, соответствующие обычным
148