Файл: Попов, Н. Н. Динамический расчет железобетонных конструкций.pdf

закреплениям концов балки: свободное, шарнирное, жест­ кое защемление.

В результате имеем уравнения

I

В ^ у іѵѵ dx — F{v); (3.190) 0

1

B\yv™dx = F(v), (3.191)

о

которые должны выполняться для всех и (х) из указанного полного множества функций — возможных перемещений. Отметим, что уравнение (3.191) выражает закон взаимности работ, так как ВѵІѴ есть нагрузка, вызывающая прогиб ü (х).

Если производная уіѵ является обычной функцией, то справедливы все три уравнения (3.189) — (3.191), и в этом случае существует в обычном смысле дифференциальное уравнение равновесия. Если у (х) имеет обычные производ­ ные до 2-го порядка, то действительны уравнения (3.189) и (3.191). Если же у у (х) нет обычных производных, то имеет смысл только уравнение (3.191).

Таким образом, уравнения (3.189) и (3.191) позволяют определить обобщенные решения, оперируя только с обыч­ ными функциями. Эти решения могут быть получены не­ посредственно из уравнений (3.189) и (3.191), для чего не­ обходимо представить функционал F (ѵ) в интегральной фор­ ме, соответствующей левой части уравнения. Поясним это обстоятельство на двух примерах. Пусть в точке с коорди­ натой X = х 0 приложена единичная сосредоточенная сила. Тогда F(v) = п(л'о). Воспользуемся известным равенством

149

где

в сечении с координатой х шарнирно-опертой балки от сосредоточенной единичной силы в точке х = х 0, а выраже­ ние (3.193) совпадает с известной в строительной механике, формулой перемещений (формулой Мора).

Подставляя выражение (3.193) в уравнение (3.189) и учитывая произвольность функций V (х), находим

Для балки с шарнирно-опертыми концами, заменив ѵ на

в сечении х = х 0 и совпадает с теми формами, которые воз­ никают в балке в отдельные моменты времени от действия сосредоточенного мгновенного импульса (см. рис. 42).

Теперь перейдем к уравнениям, описывающим движение балки. Для этого необходимо к правым частям уравнений (3.189) — (3.191) добавить работу сил инерции на возмож­ ных перемещениях:

I

150

Но этот интеграл может не существовать в обычном 'смысле, так как силы инерции могут представляться обобщенными - функциями, т. е. сосредоточенными усилиями. Записав (3.197) в виде

I

получим выражение, в которое входят только обычные функ­ ции. Поэтому уравнения динамики балки для обобщенных решений будут иметь вид

Вышеизложенное позволяет объяснить физический смысл обобщенных решений (3.148) и (3.182). Функция (3.148). является решением уравнения принципа возможных пере­ мещений (3.199), а функция (3.182) — решением уравнения взаимности работ (3.200).

Уравнения (3.199) и (3.200) позволяют находить реше­ ния уравнения колебаний (как обычные, так и обобщенные) численными методами. Так как уравнению взаимности работ (3.200) удовлетворяют все обобщенные решения [предполагается, что у (х, t) всегда является обычной функ­ цией], то изложим способ численного определения прогиба балки из этого уравнения. При этом будем считать, что жесткость В и погонная масса т балки зависят от коорди­ наты X.

Вначале рассмотрим действие статических нагрузок, т. е. уравнение

I

Для численного решения уравнения (3.201) запишем вместо интеграла одну из приближенных формул вычисления

151

определенных интегралов. В результате получим выраже­ ние, в которое войдут значения функции у (х) в некоторых точках x t, т. е. у (хг). Выберем столько функций ѵк (х), сколько имеется неизвестных значений у (*;), и запишем для каждой из них уравнение (3.201), в котором интеграл заменен на приближенную конечную сумму. Таким образом получаем систему линейных алгебраических уравнений для определения значений у (хг). При этом необходимо, чтобы определитель системы был отличен от нуля, т. е. функции ѵл (х) должны быть линейно независимыми.

Воспользуемся формулой трапеций, поделив промежуток интегрирования [0, /] на п частей. Оба конца балки предпо­

Если жесткость В постоянна и в качестве ик (х) выбраны балочные функции, удовлетворяющие уравнению

ѵіѵ(х) = ХІ ѵк (х),

то получим следующую систему:

Рассмотрим теперь уравнение движения (3.200), кото­ рое с учетом зависимости В и т от х и функционала F (ѵ) от

152

Заменим вторую производную по времени второй центриро­ ванной разностью. Тогда

Из (3.205) получим следующее рекуррентное соотно­ шение:

W\k) = { A t f { F f ) — U f )) + 2 W f) — W f i l { i ^ \ ) . (3.210)

Если известны W\k), то из выражений (3.206) определяются значения прогиба в момент времени tj и в отдельных точках Хі способом, аналогичным примененному выше при числен­ ном решении уравнения (3.201). При использовании фор­ мулы трапеции численного интегрирования получим сле­ дующую систему уравнений для у (xit tj):

153