Файл: Попов, Н. Н. Динамический расчет железобетонных конструкций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 83

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ся из начальных условий. Отметим, что обобщенные ре­ шения удовлетворяют начальным условиям в следующем смысле:

 

для любой функции V (X) при t —>0 имеем

 

'

/

I

 

 

§ у (х,

t) т (х) V(X) d x - y ^ y (х, 0) т (я) v (х) dx\

(3.212)

 

о

о

 

 

 

I

 

 

 

—т[у(х, t)ni(x)v(x)dx-+S0(v). .

(3.213)

 

 

dt J

 

 

 

о

 

Здесь через S 0 (v) обозначен функционал над ѵ (х), опре­ деляющий начальный импульс конструкции. Наличие со­

отношения (3.213) объясняется тем, что скорость | | может

представляться обобщенной функцией. Если щ — обычная

функция, то

I

So (и) = Гд ~ Х '

in (х) V (х) dx.

 

J

dt

 

 

о

 

 

 

Очевидно, что

 

 

 

I

 

 

 

W{0k) — ^y(x,

0) т(х) ѵк (х) dx.

(3.214)

о

 

 

 

Заменим в (3.213) производную первой центрированной раз­ ностью. Введя / = — 1, получим

1

^ у (х, Аt) т (х) vh (х) dx—

Дt

 

— ^ у {х,

— Аt)m (х) vk (х) dx — So (Vk)’

т. е.

-

 

W ^ — W(—\ + A/S0 (vk).

Считая справедливым уравнение (3.210) и при } — 0, после исключения W&\ получаем:

Щк) = Ш (F W - lß V ) + WM + AtS0 (ѵк). (3.215)

154

В частном случае, когда В и т постоянны и в качестве ѵк (х) приняты балочные функции, из (3.204) для функций

I

 

 

w k4f) = \y{x, t)vh(x)dx

(3.216)

о

 

 

следует дифференциальное

уравнение

 

W k>+ (a%WW = --{Vk' t] ,

(3.217)

где

т

 

 

 

щ

— •

 

 

т

 

В этом случае для у (х, t) получается обычное решение в виде ряда по собственным функциям vh (х):

у(х, 0 = 2

- Т - ^ - ° * И -

(3-218>

= 1

jokdx

 

 

о

 

При численном решении значения прогиба у (х, t) в лю­ бой момент, времени могут быть найдены без их нахождения в предыдущие моменты. Для иллюстрации изложенного метода приведем примеры численного определения проги­ бов балки, соответствующих обобщенным решениям.

Пример 1. Определим максимальный прогиб шарнирноопертой балки от сосредоточенной силы Р, приложенной в середине пролета. Жесткость балки принята постоянной по пролету. Прогиб балки определяется из системы (3.203) при

Функции vk (х) принимаем равными

 

 

vk( x ) ^ s \ n - y x .

(3.219)

При этом X =

k n

. Обозначим

 

Т~

I

 

 

3 .

 

 

PL

Хі_

У (х,) = !/*&) я4ß ’ &i =

155

Разделим промежуток интегрирования на 10 частей, т. е. п = 10. Вследствие симметрии имеем только пять не­ известных:

#і = і/*(°>1);

і/2 =У*(0 ,2);

уз = У* (0,3);

уІ = у*(0,4);

 

 

УІ —У*(0,5).

 

 

Система уравнений для их определения имеет вид

0,309yf+0,5 8 8 ^ + 0 ,8 0 9 ^ + 0 ,9 5 1 ^ + 0 ,5г/|

5;)

0,809(/Т+0,951і/!+0,309г/І—0,588г/|—0,5г/1

 

 

=

—0,0617;

 

 

 

*/і—Уз +

0,5у£ =

0,008;

 

 

(3.220)

0,809у?—0,951г/1+0,3091/1+0,588^—0,5^

 

 

=

—0,00208;

 

 

0,309г/і—0,588г/І+0,809г/І—0 ,9 5 1 ^+ 0 ,5у!

 

= 0,00076.

 

 

 

Используя правило

Крамера,

находим

 

 

»S“ T

= -

W

= 2’045'

 

Максимальный прогиб балки

 

 

 

I I

N

2,045

PI3

PI3

 

 

У V 2

,Г

л*

' в

~

47,5В

 

Точное значение прогиба равно:

{ 2 ) 48В

Пример 2. Колебания шарнирно-опертой балки вызваны сосредоточенным в середине пррлета мгновенным импуль­ сом S 0. Жесткость и погонная масса постоянны по пролету. Найдем линию прогибов в момент времени

^ Т_ _ _зт_

3 8 4CÖ! "

Точные значения прогибов в этот момент определяются из выражений (3.183) и (3.184) и представлены на рис. 42.

156

Функции vh (х) принимаем в виде (3.219). Используя (3.183) и (3.216), находим

WW (А = 2S0Ю1 Іі Ш(к)

4' rr‘IR * ’

где

1

 

 

 

Щ/;)

^ у* (I,

г!) sin /гя| dt,

 

X

 

 

 

т ;

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

у* — безразмерный

прогиб, определяемый

по (3.183).

 

Из

уравнения

(3.217)

следует

 

 

 

 

 

 

 

J2 ію(Л)

 

 

 

т = ©! t.

(3.221)

 

 

 

±-l<— +k*W{V = 0,

 

Начальные условия, определяемые из соотношений

(3.212)

и

(3.213)

при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S 0Ю

= So sin - у >

 

 

имеют вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1Ң*>(0) = 0 ; dWik) (0)

= 0,5 sin

kn

 

 

 

 

 

 

dT

 

 

~2

‘

Тогда из уравнения (3.221) найдем

 

 

 

 

 

 

 

 

(тг) =^—

sin — sin kH.

 

 

 

 

 

*

'

k 2

 

2

 

 

 

В

момент

т3 = с0]і^з = ^-

имеем

sin

k2x3 =

0,707 (k — 1,

3,

5,

...).

Приняв

n =

10,

получим для

определения

уi

= у* (|,-) систему уравнений, .левые части которых сов­

падают с левыми частями (3.220), а правые соответственно

равны:

1,7675; —0,1965;

0,0708; —0,036;

0,0218.

После

решения

системы

находим

 

 

 

 

У5 = 0,843; * 1/5 =

0,71;

*/5 =

0,526; */5 =

0,353; */Т =

0,176.

Точные значения

этих величин равны:

 

 

 

Уъ =0,873;

£/1 = 0,698;

yt = 0,534;

 

≤/2 =0,349;

 

^ = 0,174.

Как видно, расхождение в величинах прогибов не превы­ шает 3,5%.

157

Г л а в а 4

РАСЧЕТ

 

ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ

 

ПРЯМОУГОЛЬНЫХ

 

ПЛИТ

В настоящей главе рассматривается расчет на действие динамической нагрузки железобетонных прямоугольных плит, опертых по контуру, с учетом пластических деформа­ ций арматуры. Предполагается, что для соотношения сто­ рон плиты выполняется условие

2,5.

ъ

В этом случае необходимо учитывать деформацию изгиба пластинки в двух управлениях. Такая деформация в уп­ ругой стадии приводит к возникновению в плите двухосного напряженного состояния, а в пластической стадии вызы­ вает схемы разрушения, отличные от схем разрушения ба­

лочных конструкций. При -2- > 2,5- пластинки рассчиты­

ваются как балочные плиты, так как влияние опирания плиты по короткой грани делается незначительным. '

§ 18. РАСЧЕТ ПЛИТ В УПРУГОЙ СТАДИИ

До появления первых трещин в растянутой зоне бетона железобетонная плита работает как изотропная, и ее жесткость совпадает с цилиндрической жесткостью плиты

12(1—Vs)

После возникновения трещин, соответствующих пере­ ходу во II стадию напряженно-деформированного состоя­ ния, жесткость плиты определяется ее армированием.

158

Смотрите также файлы