Файл: Попов, Н. Н. Динамический расчет железобетонных конструкций.pdf

В общем случае, когда армирование плиты в разных направлениях различно, плита имеет разные жесткости

вэтих направлениях. Расчет таких плит должен проводиться

всоответствии с теорией анизотропных пластинок. При этом жесткость может определяться согласно работе [1].

Однако при расчете плит, армирование которых в раз­ личных направлениях отличается несущественно и особен­ но когда расчет в упругой стадии проводится для получе­ ния начальных условий движения плиты в пластической стадии, плиту можно рассматривать как изотропную, опре­ деляя ее жесткость D с учетом раскрытия трещин. В этом случае из условия равновесия элемента пластинки выво­ дится следующее уравнение [46]:'

где Мх, Му, МХу — изгибающие и крутящий моменты, приходящиеся на единицу длины сечений, параллельных осям Оу и Ox; q— нагрузка на единицу площади пластинки. Для упругой пластинки имеют место следующие зависимо­ сти между моментами и вторыми производными от прогиба:

и добавляя к нагрузке силы инерции, получим уравнение движения пластинки в упругой стадии [46]:

где т — масса единицы площади плиты; р — динамиче­ ская нагрузка на единицу площади плиты.

1 Для железобетонных плит D может определяться согласно

рекомендациям, данным в работе А. Н. Королева, С. М. Крылова «Способ расчета прогибов железобетонных плит». Сб. НИИЖБ, вып. 26, 1952.

159

На контуре плиты должны удовлетворяться граничные условия, зависящие от условий опирания плиты.

Для шарнирно-опертой грани плиты, параллельной оси

При решении уравнения (4.5) с соответствующими гра­ ничными и начальными условиями, так же как при'решении уравнения движения балки (3.10), применяется обычно ме­ тод Фурье, в соответствии с которым перемещение плиты представляется в виде суммы простейших решений урав­ нения (4.5):

Собственные функции находятся из решения однородного ■уравнения колебания плиты:

Подставляя (4.10) в (4.12), получаем уравнение, опре­ деляющее собственную функцию:

где со — частота собственных колебаний плиты.

160

Граничными условиями для собственной функции будут условия, аналогичные (4.6) — (4.9). Однако собственные функции прямоугольной плиты выражаются в элементар­ ных функциях лишь для некоторых случаев опирания пли­ ты, а именно, для плиты, у которой две противоположные стороны шарнирно-оперты, а другие закреплены как угодно или свободны. В этом случае решение уравнения (4.13) ищется в виде

Выражение (4.14) удовлетворяет условию шарнирного опи­

которое можно легко решить.

Для плит с другими условиями опирания сторон, на* пример для плиты, защемленной по всему контуру, вы­ ражение для прогиба часто ищется вариационными мето­ дами, в которых заранее задается форма изогнутой по­ верхности плиты.

Наиболее просто уравнение (4.13) решается для шарнир­ но-опертой плиты. Условиям шарнирного опирания по всем

где k и п — целые числа.

Подставив (4.16) в (4.13), получим выражения для .частот собственных колебаний:

Выражение для прогиба представляется в виде ряда

Для определения функции T'hn (t) внесем (4.18) в уравнение (4.5). После преобразований, учитывая ортогональность функций (4.16), получим

r fcn + <o|„Tftn = ^ \ (4.19)

где

Ь а

• p ^ , „ ( 0 := - ^ |j , j p ( ^ , у . t ) s m ^ X s i n - у у d x dy.

о о

Рассмотрим движение плиты под действием равномерно распределенной нагрузки, изменяющейся во времени по линейному закону:

р < 0 - р ( і — f ) .

Тогда

(k, п= 1, 3, 5, ...),

и решение уравнения (4.19) при нулевых начальных усло­ виях запишется так:

Выражение для прогиба получим из (4.17), (4.18) и (4.20):

При определении перемещений, усилий и скорости дви­ жения плиты в конце упругой стадии, необходимых для расчета плиты в пластической стадии, ввиду быстрой схо­

162