Файл: Попов, Н. Н. Динамический расчет железобетонных конструкций.pdf

Из граничных условий находим уравнения для опреде­ ления произвольных постоянных и собственных чисел:

К і

где

Приравнивая детерминант этой системы нулю, получаем уравнение для определения собственных чисел:

Обозначив г|) = Я I , получим

tg фп + th г1?;і = —2 . (5.12)

e*

Частота собственных колебаний определяется по формуле

Определенные по этим формулам частоты оказываются выше частот шарнирно-опертых балок, причем наибольшее отли­ чие наблюдается для низшей частоты. Например, для балки

/г „

прямоугольного сечения при е = у и с = 0 имеем

181

Из второго уравнения (.5.11) найдем

Подставляя полученное соотношение в (5.10), получаем

Получив значение собственных функций, исследуем ра­ боту балки с учетом распора при действии динамической нагрузки, изменяющейся во времени по закону

р « ) = р ( і - Н .

Уравнение динамического равновесия запишется так:

где Мң — изгибающий момент от распора Н.

Решение уравнения (5.15) будем искать, применяя рас­ смотренный в § 10 способ выделения члена, учитывающего статическое действие нагрузки, т. е. решение представим в следующем виде:

У = У1 + Угу

где у г — прогиб от действия нагрузки р (/), рассматривае­ мой как статическая нагрузка, удовлетворяющий уравнению

с граничными условиями при

Мнр — момент от распора, вызванного нагрузкой р (t), которая рассматривается как статическая; у 2 — прогиб от

182

действия сил инерции, удовлетворяющий уравнению

ö „ = Л4я„; Мяи — момент от распора, вызванного

силами инерции. Очевидно, что Мн = Мңр + Мя». Выражения для у г получим из (5.5):

(5.14).

Коэффициенты А п и Вп найдем из начальных условий:

183

Подставляя (5.17) и (5.18) в начальные условия, получаем

Далее найдем выражения для полного прогиба, распора и изгибающего момента:

Приведенные расчеты показывают, что наличие распора при динамической нагрузке может существенно повысить несущую способность конструкции. Поэтому при расчете

184

конструкций, горизонтальное смещение опорных сечений которых ограничено, следует, как и при статической на­ грузке, учитывать влияние распора.

Если материал конструкции обладает пластическими свойствами и его диаграмму деформаций можно представить диаграммой Прандтля, то полученное решение будет спра­ ведливо до момента возникновения шарнира пластичности. Условия возникновения шарнира пластичности для попе­ речных сечений различных форм приведены в табл. 1. Эти условия определяются соотношением между продольной силой и изгибающим моментом.

§ 24. РАСЧЕТ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ БАЛОК НА ДЕЙСТВИЕ СТАТИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ С УЧЕТОМ ВЛИЯНИЯ РАСПОРА

Исследование напряженного состояния железобетон­ ной балки с ограниченным смещением сечений на опорах является более сложной задачей, чем для балки из одно­ родного материала. Как было показано выше, величина распора зависит от жесткости конструкции, которая сни­ жается по мере раскрытия трещин. Возникающий распор уменьшает их раскрытие и тем самым влияет на жесткость. Таким образом, основные величины, определяющие несу­ щую способность, оказываются взаимосвязанными.

Рассмотрим шарнирно-опертую балку с ограниченным смещением опорных сечений при действии равномерно распределенной нагрузки (рис. 48). Принимаем, что равно­ действующая сжимающих усилий Я, возникающая в опор­ ных сечениях, приложена на расстоянии г от центра тяже­ сти нижней арматуры. Величина е определяется в ходе расчета.

В соответствии с принятой расчетной схемой при дей­ ствии нагрузки и возникновении распора на участке балки у опоры Іг возникнут отрицательные изгибающие моменты, на участке же в средней части пролета 12 — положитель­ ные моменты (см. рис. 48). Рассмотрим напряженное состоя­ ние этих участков балки. При этом будем исходить из сле­ дующих предпосылок [39]:

1) деформации изменяются по высоте сечения по линей­ ному закону;

2) напряжения в бетоне сжатой зоны имеют прямоуголь­ ную эпюру;

185

Рис. 48. Железо­ бетонная шарннр- ио-опертая балка с распором

Рис. 49. Напря­ женное состояние в сечениях железо­ бетонной балки с распором

3) жесткость для каждого участка железобетонного элемента, имеющего изгибающий момент одного знака, принимаем постоянной и равной значению'жесткости в месте наибольшего изгибающего момента на данном участке.

Усилия в сечении I—I (участок/х) показаны на рис. 49. Для определения положения нейтральной оси и напряже­ ний в арматуре и бетоне составим уравнения равновесия:

где Мр — изгибающий момент в балке от действующей на

186