Файл: Голембо, З. Б. Алгоритмизация и программирование электротехнических задач на электронных цифровых вычислительных машинах учеб. пособие.pdf

еще Кирхгофом и Максвеллом при рассмотрении сравнительно не­ сложных схем. С момента использования ЭЦВМ для электротехни­ ческих расчетов наблюдается быстрое развитие топологических ме­ тодов.

Применение топологических методов обычно сочетается с исполь­ зованием матричных методов и приводит к самостоятельному рас­ смотрению геометрических и физических свойств цепей. Последние определяются как геометрией цепи, так и физическими свойст­ вами ее элементов. Геометрические свойства цепи целиком опреде­ ляются взаимным расположением ее элементов, т. е. схемой их сое­ динения, конфигурацией цепи, и не зависят от того, какими по своим физическим свойствам элементами представлены отдельные ветви и контуры.

Отдельное рассмотрение геометрических и физических свойств сложных цепей в ряде случаев создает возможность использовать рациональные методы расчета и выбора алгоритма электротехни­ ческих задач. Появляются большая гибкость программы при ее реа­ лизации в ЭЦВМ и возможности видоизменения в широких пределах исходной информации, связанные с изменением геометрической структуры рассматриваемой цепи. Таким образом, отвлекаясь от ха­ рактера элементов, содержащихся в отдельных ветвях, и изображая каждую ветвь только в виде направленного отрезка, получим гео­ метрический образ электрической цепи. Основные определения электрических цепей следующие.

Геометрическая схема электрической цепи представляет, собой •совокупность узлов и ветвей, соединяющих узлы схемы. Ветви, сходящиеся в одной точке, образуют узел. Если ветвям схемы при­ писаны определенные направления, схема называется ориентиро­ ванной (ее знак зависит от произвольно выбранных отрицательного и положительного направлений). Геометрическая схема может быть связанной и несвязанной (разделимой). Схема называется свя­ занной, если в ней из одного узла можно попасть в любой другой узел переходом по ветвям, соединяющим эти узлы. Схема является разделимой, если она содержит узлы, осуществляющие единствен­ ную связь между двумя или несколькими группами ветвей.

Узлы схемы могут быть устранимыми, если в них сходятся только две ветви. Совокупность ветвей и узлов (не считая устра­ нимых), образующих такой непрерывный путь, что при обходе каж­ дая ветвь и каждый узел встречаются только один раз, называется контуром. Контурам приписываются как положительное, так и отрицательное направления. Если при обходе контура возвращают­ ся в исходную точку, то контур называется замкнутым.

Сложение контуров осуществляется сложением ветвей, образую­ щих складываемые контуры (каждый контур заменяется суммой входящих в него ветвей). Контуры называются линейно зависимыми, •если между ними можно установить линейную связь. В линейно лезависимых контурах такая связь отсутствует. При наличии в схе­ ме S подсхем, Q ветвей и V узлов наибольшее число линейно не­ зависимых контуров N (называемое связностью схемы) определяет-

74

<ся соотношением, вытекающим из геометрических свойств схемы

N = Q — V + S.

Линейными преобразованиями можно реализовать переход от •одной системы линейно независимых контуров к другой. В схеме, имеющей /V замкнутых контуров, всегда можно выбрать N ветвей

.для устранения всех замкнутых контуров. Схема, оставшаяся после удаления N ветвей, называется деревом схемы. Удаленные N вет­ вей образуют систему главных ветвей, каждой из которых соот­ ветствует контур, который она замыкает.

Совокупность контуров, соответствующих главным ветвям, называется главными контурами, относящимися к данному дереву.

•Система главных контуров является линейно независимой.

Учет геометрической структуры схемы, т. е. связь между вет­ вями и контурами, дается матрицей совпадений Г. Матрица сос­ тавляется с использованием коэффициентов совпадения, указы­ вающих вхождение i-й ветви в k-vi контур. Она строится таким •образом, чтобы ее столбцам соответствовали независимые контуры схемы, а строкам — ветви.

Элементы матрицы Г принимают значение + 1, если ветвь вхо­ дит в рассматриваемый _контур и направление ветви совпадает с направлением контура, и —-1 — при несовпадении этих направле­ ний (если ветвь не входит в контур, коэффициент совпадения при­ нимают равным нулю). Матрица Г является алгебраическим выра­ жением геометрической связи между ветвями и контурами цепи.

Для каждой сложной электрической цепи имеется определен­ ное множество систем независимых контуров и соответствующих им матриц Г. Поэтому матрица контуров Г не определяет однозначно геометрического образа цепи (одной и той же матрице может соот­ ветствовать несколько геометрических образов цепи). Она может •определить однозначно только избранную систему контуров в рас­ сматриваемой цепи. С помощью линейной комбинации столбцов и строк матрицы может быть реализован переход от одной системы контуров к другой.

Среди множества возможных систем контуров можно выделить одну такую, у которой каждая ветвь цепи обязательно принадле­ жит к двум смежным контурам, причем направление ветви для плаяарных цепей всегда согласно с направлением одного из смежных

к системе независимых контуров, следует исключить из особой си­ стемы любой контур. Исключая соответствующий этому контуру столбец матрицы Г, получаем матрицу Г независимых контуров.

Учет связи между узлами и ветвями производят, используя коэффициенты совпадения mih. Эти коэффициенты алгебраически показывают, граничит ли, например, i-я ветвь с k-ы узлом: если

75

ветвь не примыкает к узлу (не входит в контур), то коэффициент совпадения принимает значение 0; если же ветвь примыкает к узлу (входит в данный контур), то коэффициент совпадения принимает значение + 1 в случае, когда направление ветви совпадает с поло­ жительным направлением контура при движении вдоль ветви к узлу, и значение — 1 , когда направление ветви не совпадает с по­ ложительным направлением контура. Матрица, в которой элементы столбцов соответствуют ветвям, а элементы строк—узлам рас­ сматриваемой схемы, называется матрицей совпадения П.

Следовательно, в зависимости от того, входит ли ветвь в контур пли нет, на пересечении столбца и строки матрицы совпадения П ставится + 1 , — 1 , 0.

Матрица совпадения П однозначно определяет геометрический образ цепи, т. е. определяется один и только один геометрический образ, который всегда описывается одной матрицей П.

В каждом столбце матрицы совпадений П любой цепи встречает­ ся один раз + 1 н — 1 , все остальные числа 0, так как каждая ветвь цепи принадлежит только двум узлам (из одного выходит в другой входит).

строк. Одна строка матрицы будет зависимой и определяется вы­ черкиванием строки, соответствующей нулевому напряжению. В ре­ зультате получаем матрицу ГГ.

Отсюда в клетке, находящейся на пересечении первого столбца и первой стро­ ки (соответствующей первой ветви), коэффициент совпадения равен +1, Поэтому в этой клетке ставим -f 1. Ветвь 1 не входит во второй контур, поэто­ му во второй клетке первой строки коэффициент совпадения равен 0.

Ветвь 2 не входит в контур Г, поэтому в первой клетке второй строки

не совпадает с направлениями обхода этих контуров. Поэтому в обеих клет­ ках третьей строки будет стоять — 1. В окончательном виде для рассматри­ ваемого примера Г имеет вид:

76

1 0

г= 0 1

-i -1

§ 6.3. Построение уравнений цепи методами контурных токов и узловых напряжений

а. Величины, характеризующие электрическую цепь

При исследовании электрической цепи, кроме ее геометриче­ ского образа, определяющего схему соединения ветвей, необходимо также учитывать сопротивления или проводимости ветвей, э. д. с. источников, токи в ветвях и напряжения ветвей. Для математиче­ ского выражения этих величин рассмотрим матрицу сопротивлений ветвей.

Свойства матриц играют существенную роль в практической реализации электротехнических алгоритмов: матрицы определяют совокупность информации, выражающей в цифрах ее специальные свойства. Поэтому изучение свойств матриц линейных электричес­ ких цепей позволяет найти возможности сокращения исходной информации и кодирования матриц более экономным способом.

Разберем свойства матриц линейных электротехнических це­ пей. При разборе будем рассматривать не реальные объекты, а их расчетные схемы, что приводит к сокращению числа уравнений,

77.

4

описывающих электрическое состояние цепи. Например, реальная1: трехфазная симметричная цепь, содержащая зависимые источники э. д . с , описывается системой уравнений электрического равно­ весия, составленной для каждой из фаз; ввиду симметричности урав­ нений относительно отдельных фаз достаточно установить взаимо­ связь токов и напряжений для одной фазы и рассмотреть систему уравнений относительно нее. Это позволит экономно построить алгоритмы, предназначенные для анализа симметричных электри­ ческих цепей.

Для электрических цепей, в которых выполняется принцип

ся к одной и той же системе контуров, — симметрична. Кроме того, если каждая ветвь системы контуров входит не более чем в два кон­

78