Файл: Голембо, З. Б. Алгоритмизация и программирование электротехнических задач на электронных цифровых вычислительных машинах учеб. пособие.pdf

Матрица проводимостей ветвей Y также квадратная матрица порядка р. Элементы, расположенные по ее диагонали, равны проводимостям ветвей. Из принципа взаимности следует, что Следовательно, матрица проводимостей будет симмет-

рична

б. Основные уравнения цепи

Для произвольно взятой k-й ветви

где 11к — напряжение, приложенное к концам ветви; Eh — э. д. с. Аналогичные уравнения можно записать для всех р^ветвей цепи

U г + е2 = Z 2 / 2 ;

Up + ep = Zp/p.

Данная система уравнений в матричной форме^будет иметь вид:

Ut+e,

и2+ег

Ui+ei

Up + ep

Уравнение для токов ветвей, сходящихся в каком-либо узле,, следующее:

Ф ( / ) Е Л = О,

где k—ветви рассматриваемого узла.

Количество таких уравнений равно количеству узлов цепи q. (количество линейно независимых уравнений q — 1). Так как произведение матрицы соединений П на любой р-мерный вектор,, определяющий те или иные величины ветвей, соответствует сум­ мированию этих величин по узлам, то систему уравнений, полу-

79'

ченных на основании первого закона Кирхгофа, можно записать в матричной форме:

Индекс t указывает на то, что соответствующая матрица транс­ понирована.

Уравнение (6.3) определяет взаимосвязь между напряжениями ветвей сложной электрической цепи.

Контурные токи 1к связаны с токами ветвей / соотношением (6.4)

в. Уравнения цепи, составленные по методу контурных токов

Если рассматривать цепь как совокупность замкнутых конту­ ров, отдельные части которых принадлежат двум или большему чис­ лу смежных контуров, а остальные (образующие внешний контур) — только одному контуру, то можно выбрать для каждого контура некоторый ток. Выбор контурных токов может происходить раз­ лично, но при этом необходимо помнить, что токи должны быть не­ зависимыми и допускать существование токов в каждой отдельной ветви цепи. Величина и направление контурного тока определяется величиной и направлением действительных токов в участках схе­ мы: действительные токи в участках, принадлежащих только одному контуру, равны соответствующим контурным токам, а действитель­ ные токи в участках, принадлежащих нескольким контурам, явля­ ются алгебраическими суммами соответствующих контурных токов. Переход к уравнениям, записанным относительно контурных токов, может быть реализован с помощью уравнений, составленных отно­ сительно напряжений и токов ветвей (направление токов в ветвях принимается совпадающим с направлением ветвей). Рассмотрим подробно эту операцию перехода. Величины, относящиеся к ветвям схемы, обозначим большими буквами, к контурам — малыми бук­ вами .

Соотношение между параметрами в ветви электрической цепи определяется в матричной форме зависимостью вида (6.1)

U + E = Z I .

80

Для того чтобы исключить U, применим к этому уравнению транспонированную матрицу Г,, при этом э. д. с. в ветвях обра­ щаются в соответствующие э. д. с. в контурах. Учитывая напря­ жение по контуру, равное нулю Г, U = 0, и уравнения связи между токами в ветвях и контурными токами I = Г1к , получаем

Таким образом, формулы (6.5) — (6.7а) показывают связь меж­ ду э. д. с , токами и полными сопротивлениями ветвей.

Операция преобразования матрицы Г„ отражающей в алгебраи­ ческой форме схему соединения ветвей электрической цепи, фак­ тически представляет собой переход от токов в ветвях к контурным

При реализации алгоритмов уравнений контурных токов пре­ дусматривается использование стандартных подпрограмм умноже­ ния симметричных матриц, транспонирования этих матриц и реше­ ния системы алгебраических уравнений.

г. Уравнения цепи, составленные по методу узловых напряжений

В уравнениях цепи, составленных по методу узловых напряже­ ний, неизвестными являются узловые напряжения. Приняв за условный нуль напряжение какого-нибудь одного из /г+1 узлов

цепи, определяем по модулю и фазе напряжения всех остальных п узлов. Изменения, которые необходимо внести в уравнения, сос­ тавленные относительно токов и напряжений, связаны с исключе­

Связь между узловыми напряжениями и и напряжениями U, приложенными к ветвям, в матричной форме может быть записана в следующем виде:

Матрица Y представляет собой матрицу проводимостей схемы. Столбцовая матрица э. д. с. в ветвях и столбцовая матрица узло­ вых напряжений соответственно

Е, Е2 и2

ип

При составлении уравнений по методу узловых напряжений, пользуясь геометрической теорией цепей, сначала рассматриваем ветви схем и составляем матрицу соединения (условный нуль отсче­ та выбирается заранее). Элементами этой матрицы являются ко­ эффициенты уравнений, составленных по второму закону Кирхго-

82