Файл: Голембо, З. Б. Алгоритмизация и программирование электротехнических задач на электронных цифровых вычислительных машинах учеб. пособие.pdf

НЕКОТОРЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ АЛГОРИТМОВ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ

§ 8.1. Особенности численного решения задач непрерывного и дискретного типов

а. Задачи непрерывного и дискретного типов

Процессы формулирования математических моделей могут ус­ ловно относиться к задачам непрерывного и дискретного типов. Мо­ дели непрерывного типа образуют один из важных классов элект­ ротехнических задач, куда входят задачи, для описания которых используются методы классического анализа, связанные главным образом с операциями дифференцирования и интегрирования, и любые другие методы, в которых существенную роль играет пре­ дельный переход. Математические модели, использующие указан­ ные методы, описывают переходные процессы.

Одним из характерных режимов функционирования стационар­ ных систем, например электрических, систем управления, являет­ ся режим, установившийся после завершения переходных процессов при непрерывном воздействии стационарных возмущений. Во мно­ гих случаях при проектировании электрических систем этот режим

выходе полезного сигнала или некоторой функции от него, в част­ ности в поддержании постоянного значения выходной переменной. Поэтому математическая модель представляет собой уравнения, которые определяют соответственно математические ожидания и случайные составляющие сигналов в системе. Полученные системы часто решают методами последовательных приближений.

Способы решения дифференциального уравнения могут быть аналитическими, основанными на операции интегрирования, и численными, когда решение сводится к вычислению шаг за шагом, а результат представляет собой таблицу соответствующих значений

рые связаны с маловероятной возможностью их реализации. Толь­ ко сравнительно простые уравнения допускают аналитическое решение. Характерной особенностью задач, в которых операция

135

предельного перехода будет существенной, является то, что их не­ посредственно нельзя решать на ЭЦВМ. Следовательно, чаще при­ ходится иметь дело с численными методами решения.

Машина не может оперировать с непрерывно изменяющимися величинами и, следовательно, не может находить их предельные значения, так как она использует вычислительный процесс с конеч­ ным числом операций. Поэтому вместо исходной непрерывной за­ дачи решается другая —дискретная, аппроксимирующая непрерыв­ ную задачу в том смысле, что ее дискретное решение аппроксимиру­ ет непрерывное решение исходной задачи.

Связь между задачей непрерывного типа и соответствующей ей задачей дискретного типа можно рассматривать как дискретное отображение непрерывной задачи (справедливо также и обратное соотношение). Единственной непрерывной задаче соответствует бес­ конечное множество дискретных задач. Переход от дискретной за­ дачи к непрерывной не является взаимно однозначным и может при­ водить к неопределенности. Можно составить много разностных уравнений, соответствующих одному и тому же дифференциальному уравнению. Дифференциальные и разностные уравнения должны описывать изменения, отличаются они друг от друга в основном тем, что в дифференциальных уравнениях независимая и зависи­ мая переменные изменяются постепенно или непрерывно, в то время как в разностных уравнениях имеют место скачкообразные изменения, имеющие конечную величину.

Предположим, что динамическая система может быть описана нормальной системой обыкновенных дифференциальных уравнений п-го порядка. Моделирование динамической системы на ЭЦВМ сводится к численному интегрированию уравнений, описывающих ее динамику. Численные методы, применяемые для этих целей, дают возможность получать последовательные значения всех пе­ ременных системы уравнений, следующие через определенные шаги или интервалы независимого переменного t.

сигналам. Математическая модель, описывающая непрерывную часть, сводится также к разностным уравнениям.

исследование свойств физического процесса заменяетсяизуче­ нием свойств решений некоторой системы конечно-разностных уравнений.

136

Пусть при алгоритмизации применяется одношаговый экстраполяционный метод численного интегрирования:

Поэтому основная задача при создании алгоритмов цифровых моделей состоит в достижении оптимального соответствия между свойствами воспроизводимого в машине и заданного процессов.

аппроксимативных методов, что является неизбежным следствием

137

дискретного описания непрерывных процессов; зависят от выбран­ ного численного метода;

округления, обусловленные имеющейся разрядной сеткой и правилами округления при выполнении арифметических операций

улавливаться имеющимися тестами для проверки машины, нов про­

выполняться в любой момент времени. Этот способ контроля наи­ более эффективен, так как сразу фиксирует сбой в работе ЭЦВМ, ошибку в программе, а также совокупную ошибку метода и вычис­ лений.

Любой вид контроля связан с введением избыточности на том уровне, на котором необходимо проверять правильность выполняе­ мых операций. Так, например, чтобы проверить правильность вы­ полнения отдельных операций, нужна избыточность на уровне кодов, в которых выполняется операция; для проверки исправно­ сти машины в целом можно проводить счет, например на парал­ лельных машинах и т. д.

Наибольшую трудность в оценке точности полученного решения представляет собой оценка погрешности применяемого численного метода. Ни один из указанных способов введения избыточности для контроля, кроме проверки контрольных соотношений, не улав­ ливает ошибку метода. Но далеко не для всякой задачи известно контрольное соотношение.

В настоящее время задачам искусственного построения конт­ рольных условий, по характеру которых можно было бы судить не только об ошибках округления или сбоях, но о всей совокупной

138

ошибке, входящей в полученное численное решение, включая и ошибку метода, уделяется большое внимание. Появление ЭЦВМ сдвинуло центр тяжести исследований в сторону построения алго­ ритмов с использованием конечно-разностных методов. При этом уделяется большое внимание проблемам, связанным с необходи­ мостью использования методов, требующих для своей реализации большого числа шагов. Исследуются достаточные условия устойчи­ вости разностных аппроксимаций.

§ 8.2. Классы методов численного интегрирования

На ЭЦВМ можно успешно выполнить численное интегрирование уравнений, описывающих действие системы. Результаты решения получаются с точностью, которая обычно удовлетворяет требова­ ниям, определяемым целью исследования. Однако машинное время, необходимое для численного интегрирования, для ЭЦВМ низкой и средней производительности, имеющих быстродействие от сотен до десятков тысяч операций в секунду, обычно не настолько мало, чтобы можно было его не учитывать. Поэтому возникает проблема, имеющая большую практическую важность: найти численные ме­ тоды, требующие при реализации математических моделей на ЭЦВМ минимального объема вычислений при обеспечении приемлемой их точности.

Общность таких методов велика, так как ими можно пользо­ ваться для решения любого дифференциального уравнения. Чис­ ленные методы различаются по способу вычисления решения, све­ дениям, используемым на каждом шаге, удобству проверки оши­ бок. В основном численное решение дифференциальных уравнений может сводиться к методам одноступенчатым и многоступенчатым.

Одноступенчатые методы используют только информацию о самой кривой в одной точке и не производятся итерации. Эти мето­ ды включают в себя методы Рунге—Кутта, которые используют итерации, т. е. являются прямыми. Но прямые методы требуют многократных повторных вычислений функции, что связано с большими затратами машинного времени, и допускаемую ими ошиб­ ку трудно оценить.

Многоступенчатые методы характеризуются тем, что при их использовании следующую точку кривой можно найти, не произво­ дя повторных вычислений функции, как это имеет место в одно­ ступенчатых методах. Большинство многоступенчатых методов на­ зываются методами прогноза и коррекции. При их применении возникают трудности, связанные с использованием итерационных приемов и с получением нескольких начальных точек решения. Но эти методы позволяют легко оценить допускаемую ими ошибку.

С помощью многоступенчатых методов нельзя начать решение уравнения, так как в последних необходимоиспользоватьинформацию о предыдущих точках решения. Для того чтобы начать реше­ ние уравнения, имея только одну точку, определяемую начальным

139