Файл: Голембо, З. Б. Алгоритмизация и программирование электротехнических задач на электронных цифровых вычислительных машинах учеб. пособие.pdf

условием или, чтобы изменить шаг h, необходим один метод типа Рунге—Кутта.

Именно использование информации о предыдущих точках без вычисления значений функции позволяет классифицировать методы прогноза и коррекции как многоступенчатые методы численного интегрирования. В методе прогноза и коррекции вначале «пред­ сказывается» значение ут+и а затем используется тот или иной метод для корректировки этого значения. Для вторичной коррек­ тировки формулы можно использовать однажды уже скорректиро­ ванное значение ут+\. В этом итерационном процессе из сообра­ жений эффективности необходимо выбрать должным образом шаг интегрирования.

В настоящее время широко используются разностные методы численного интегрирования, применяемые для рассмотрения, на­ пример, переходных процессов в электрических системах, при ис­ следовании фильтров, линий передач, многокаскадных усилителей, электронных коммутационных устройств и т. п. Важным вопросом, / неизбежно возникающим при выборе численного метода решения дифференциального уравнения, является вопрос об устойчивости. Если дифференциальное уравнение аппроксимируется разностным уравнением, то решение последнего не обязательно является при­ ближением исходного дифференциального уравнения.

Метод, при котором посторонние решения в процессе интегри­ рования имеют тенденцию к росту и преобладанию над искомыми решениями, называется неустойчивым.

При разностных методах формулы для получения следующего значения сложны, но их погрешность допускает большой шаг ин­ тегрирования, поэтому нет надобности в чрезмерно большом их числе. Так как для ЭЦВМ не затруднительно многократное исполь­ зование одной и той же формулы, если она проста, то при расчетах на машине нецелесообразно применение разностных методов: при этом часто возникает необходимость запоминать большое количе­ ство предшествующих результатов. Другим недостатком использо­ вания разностных методов применительно к ЭЦВМ является так же и то, что они связаны с изменением длины шага интегрирования (один интервал берется для нескольких первых шагов интегриро­ вания, а другой—для последующего решения).

Сравним линейные разностные и дифференциальные уравнения,

140

Как и дифференциальные уравнения, разностные уравнения используются тогда, когда известно математическое выражение, связывающее различные параметры. В общем виде линейное раз­ ностное уравнение с постоянными коэффициентами записывается как

со

Ф(х-)= S й А М ,

где &g(x)=g(x+l)—g(x). Обыкновенное дифференциальное урав­ нение содержит одну независимую и одну зависимую переменную и производные зависимой переменной по независимой. Решением этого уравнения будет соотношение между зависимой и независи­ мой переменными, которое не содержит производных и после под­ становки в уравнение обращает его в тождество. Сказанное отно­ сится и к обыкновенным разностным уравнениям с тем лишь отли­ чием, что вместо производных здесь рассматриваются конечные разности.

Разностные уравнения, как уже отмечалось в исчислении раз­ ностей, соответствуют дифференциальным уравнениям в дифферен­ циальном исчислении. Так, например, для неизвестной функции у дифференциальное уравнение

dyldx + 2у = х

или разностное уравнение

В этом виде аналогия между дифференциальными и разностны­ ми уравнениями не полная. Но если подставить в (8.6) выражение Ау=у(х+1)—у(х), то получим уравнение, представляющее их пол­ ную аналогию:

к другому. Обычно используют вторую форму записи, при этом уравнение можно решить в основном так же, как решается урав­ нение уг-\-у=х. Например, если дано уравнение

А*у + 2Ау + у = [(х),

то можно считать, что имеется разностное уравнение второго по­ рядка, которое приводит к уравнению

-У(Х)] + У(Х) = У(Х + 2).

Максимальный порядок разности аргументов неизвестной функ­ ции определяет порядок разностного уравнения.

Лучшим для решения дифференциальных уравнений с помощью ЭЦВМ является метод Рунге—Кутта, который дает возможность

141

при изменении величины шага h. Метод не требует вычисления производных от f(x, у), вычисляется только сама функция. Но для вычисления каждой последующей точки решения приходится вы­

§ 8.3. Применение метода последовательных приближений для расчета сложных электрических систем

снесимметричными нагрузками

а. Расчет электрических цепей

общего вида

Задачи, связанные с изучением электромагнитных процессов независимо от вида расчетной схемы, сводятся к построению анало­ гичных математических моделей, представляющих собой системы линейных алгебраических уравнений:

Ах — Ъ = 0.

Для построения алгоритмов, математических моделей, осно­ ванных на методе контурных токов или узловых напряжений, мо­ гут быть использованы итерационные методы, сходимость которых имеет место лишь при выполнении специальных условий.

Условия сходимости, даже для хорошо разработанных итера­ ционных методов, не всегда могут быть выполнены. В ряде же случаев сходимость оказывается слишком медленной. Так, напри­ мер, итерационный метод Зейделя—Гаусса может не обеспечить результативность алгоритма, если не выполняется условие сходи­ мости в процессе схемы счета. Физически эти условия плохо выпол­ нимы в цепях: резонансных, с переменными параметрами; состав­ ленных из элементов, различных по своим характеристикам и соот­ ношениям активных и реактивных сопротивлений, а также плохо выполнимы в длинных линиях электропередачи при наличии про­ дольной компенсации и т. п.

Существует большое количество различных методов решения •систем линейных алгебраических уравнений. Однако все они не обладают универсальностью: для каждого метода можно указать систему линейных уравнений, описывающих электромагнитные процессы в электрической цепи, для которой данным методом нельзя получить решение.

Для построения алгоритмов анализа электромагнитных про­ цессов необходимы методы, дающие решения определенных классов систем уравнений и не вызывающие чрезмерных трудностей при

142

программировании. Методы, наиболее подходящие для создания алгоритмов, выделяются с помощью критериев их сравнения.

Как уже говорилось, в практике электротехнических расчетов в случае нарушения симметрии в одном месте системы широкое распространение при построении алгоритмов получил метод сим­ метричных составляющих. Однако при сложных несимметрич­ ных режимах метод симметричных составляющих не всегда приво­ дит к желаемому экономному построению алгоритмов, например, случай подключения к системе большого числа несимметричных нагрузок (эквивалентная схема замещения такой системы содержит изолирующие трансформаторы, изменяющие фазу э. д. с. на 120°).

При рассмотрении режима работы электрической системы, пи­ тающей большое число однофазных нагрузок, принципиально всегда можно составить систему линейных алгебраических уравнений. Однако большое число искомых величин—токов или напряже­ ний — при составлении системы уравнений вызывает серьезные трудности, так как математически рассмотренный круг электротех­ нических задач описывается плохо определенной системой алгеб­

шин). Поэтому необходим такой способ расчета, который имел бы строгое математическое обоснование и вместе с тем для реализации алгоритмов позволил бы использовать в полной мере все качества, присущие уравнениям с симметрической матрицей коэффициентов. Метод последовательных приближений в сочетании с методом сим­ метричных составляющих отвечает поставленным выше требовани­ ям. Применяя его для получения каждого последующего прибли­ жения, используется не вся информация об уравнениях системы, а только информация об одном уравнении. Коэффициенты уравне­

для расчета несимметричных режимов

Сложная электрическая система с подключенными к ней одно­ фазными нагрузками рассматривается состоящей из двух частей: симметричная трехфазная цепь с симметричной нагрузкой и гене­ раторами и несимметричная цепь. Последняя состоит из однофазных нагрузок. Если токи и напряжения в местах соединения двух частей известны, то режим симметричной части легко найти, пользуясь методом симметричных составляющих. Однако токи и напряжения

вместах соединений зависят от режима и параметров всей системы

вцелом. Для их определения используется метод последовательных приближений. Режим работы системы и напряжения на зажимах

ИЗ-