Файл: Брикман, М. С. Аналитическая идентификация управляемых систем.pdf

сизвестными непрерывными по аргументам т и 0 ядром

N(t,x, 0) и правой частью Заменив в уравнении (3.33) интеграл при помощи какой-либо квадратурной формулы [3.16]

сходящейся для любой непрерывной по аргументу т функции

g(i, т), и считая 0= ^ (/) (/е= 1,п), получаем уравнение для определения неизвестных значений Wa.it, |й(^)]

П

^Ai(t)wa[ t, li (t )] X

i = 1

Здесь Ai(t) и li(t) — соответственно веса и абсциссы исполь­ зуемой квадратурной формулы.

Восстановление функционального параметра wa(t, 0) по ре­ шению системы (3.35) производится либо при помощи извест­ ных интерполяционных формул [3.8], либо с использованием уравнения (3.33)

При решении интегральных уравнений идентификации пер­ вого рода формула (3.36) неприменима и следует пользоваться интерполяцией или другими известными методами проведения кривой через заданные точки [3.17].

В том случае, когда уравнение (3.33) является интегральным уравнением Вольтерра, т. е. N(t,Q,x)=0 при т>0, применение квадратурной формулы

позволяет [1.21] построить рекуррентные соотношения для ис­ комого функционального параметра

Остановимся коротко на вопросе выбора квадратурных фор­ мул. В выражении (3.34) используются многомерные квадра­ туры, если идентифицируемая непрерывная система нелинейна, так как в этом случае система описывается многомерным ин­ тегральным уравнением (2.12). Теория квадратурных формул для кратных интегралов в настоящее время развита слабее [3.16], чем для одномерного случая. С целью сокращения числа

На рис. 4 приведены кривая y(t), построенная при помощи интерполяции полученных значений y(kAt), и точная функция yo(t). График иллюстрирует эффективность описания системы при помощи интегральных уравнений с целью их использования как для анализа, так и для идентификации матема­ тической модели.

В заключение данного параграфа рассмотрим решение нерегуляризованного интегрального уравнения идентификации

где 6(0 — функция Дирака [3.27]; k(t) и k(t, х) — непрерыв­ ные функции.

Подставляя (3.43) в (3.42) и используя квадратурную фор­ мулу, не содержащую точку t в качестве абсциссы, получим следующую систему уравнений:

—R y X [Д |fe(0 ]

( k = l , n).

Легко показать, что решение системы (3.44) минимизирует нерегуляризованный функционал среднеквадратической ошибки, если в последнем заменить интеграл при помощи квадратурной формулы (3.34).

Теорема 3.11. 1. Система (3.44) имеет единственное решение, причем на этом решении невязка

An( t ) = y ( t ) —k(t)x(t) —

П

—Y j л.-(0М*. £<(№ [£<(*)] 2=1

иее дисперсия не зависят от весов квадратурной формулы.

X k [ t , b ( t ) ] x [ b ( t ) ] ) z } = lim {Ryy(t,t)+k2(t)Rxx(t,t) +

7 1 —* 0 0

П

+ Y j М * ) М * ) ь и , Ш ] ь и , Ш ] К * х [ Ш , Ш ] - 2 Ц Ц х id—1

n

XRyx(t,t)-2 Y j M t ) klt,li(t)]RyX[t,h(t)] +

2=1

+ 2 л £ < (* )]} =

2=1

= / ? « , ( * . o + f e 2( o ^ * * a o +

b(<) b(f)

+ J I k(t,x)k(t,Q)Rxx(x,Q)dxdQ—2k(t)Ryx(i,t) —

a(t) a(t)

—2 J£(^,x)Ryx(t, x)dx-\-2k(t) J k(t,x)Rxx(t,x)dx =

b( t )

—M {[y (t) — J a/(f, т)* ( т) й?т]2} = 0 .

“(f)

Таким образом, невязка метода механических квадратур сходится к нулю в среднем, а следовательно [2.22], и по ве­ роятности. Теорема доказана.

Из вышеизложенного следует, что к преимуществам метода механических квадратур относятся возможность уменьшения невязки путем варьирования абсцисс квадратуры, а также по­ лучение оценок значений функционального параметра в отдель­ ных точках.

зрения трудоемкости и устойчивости расчетов эта операция зна­ чительно проще решения системы (3.44) при n= s. Определен­ ные значения k(t,x) являются основой для решения стандарт­ ной задачи о проведении кривой через заданные точки. Исполь­ зование описанного приема позволяет достичь высокой точности аппроксимации для искомого решения уравнения (3.42).