Файл: Брикман, М. С. Аналитическая идентификация управляемых систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.10.2024

Просмотров: 129

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

97

ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ

Пусть идентификация системы производится в установив­ шемся режиме. В этом случае a(t) = —оо, b (t)= t и квадратур­ ные формулы, заданные на отрезке [0, оо], приводят к следую­ щей модификации системы (3.44):

 

П

 

k{t)Rxx{t,t)+

У

- ^ k { t , t - x i)Rxx{ t - x u t) =

 

“ 7 р (ъ )

 

 

= Ryx(t, t) ;

 

71

 

k(t)Rxx(t,t—Tft) +

^

- ^ ~ r k (t,t —Xi)Rxx{t—Xi,t—Xk) =

 

i=i

P\-Xi>

 

=

Rvx(t, t—tfe),

(k=\, n).

В частности, в случае идентификации стационарной системы при стационарных и стационарно связанных сигналах получаем

П

kRxx{0)+ Л, - ^ —-k(Xi)Rxx(xi)=R4X(0)-

 

i= i

P\Xi>

 

 

(3.45)

 

П

 

 

 

 

 

kRxxi^h) +

—^ Lxi k(Xi)Rxx(Xi — Xh) = R vx(xh),

 

 

i=i

PB'V

 

 

 

 

 

 

 

( k = \ , n).

 

 

З а м е ч а н и е 3.4.

Метод

механических квадратур применялся

рядом

авторов

для решения

уравнений

Винера—Хопфа

[2.13, 2.31]. Однако

исполь­

зуемые

в этих работах

квадратурные формулы

с равноотстоящими

узлами

могут приводить к расходящимся квадратурным процессам [1.24]. К тому же при идентификации на полубесконечном отрезке в этом случае требуется конечность памяти системы, что не всегда имеет место. Поэтому при состав­ лении системы (3.45) следует использовать квадратурные формулы Лагерра [3.16] в соответствии с данными таблицы 3.1.

Пример 3.4. На

вход звена с

импульсной

переходной

функцией

оЦ ?)= е_ ‘ был

подан смоделированный

на ЦВМ центрированный

стационар­

ный случайный

сигнал

с корреляционной функцией

R Xx { т )= е - |т|.

По изме­

ренным реализациям в предположении эргодичности рассматриваемых про­ цессов были рассчитаны корреляционные функции наблюдавшихся сигналов (рис. 5). Из графиков видно, что между корреляционными функциями и их оценками имеется расхождение, обусловленное конечностью реализаций, не­ учтенной нестационарностью процессов, ошибками вычислений и т. п.

7 — 2733

ГЛАВА III

 

 

 

 

 

98

 

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а

3.1.

 

 

 

 

 

 

 

Коэффициенты и абсциссы системы (3.45)

 

 

 

 

для квадратурного процесса Лагерра

 

 

п

i

Ti

Ti-Ti

T ; - t 2

T j - t 3

Ti T4

p { X i )

at

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0,585786

2,828428

 

 

 

0,649435

 

2

3,414314

 

 

 

0,225619

3

1

0,415775

1,878505

 

 

 

0,923996

2

2,294280

3,995665

 

 

0,363589

 

3

6,289945

5,874170

 

 

0,178526

 

1

0,322548

1,423213

 

 

 

1,203920

 

2

1,745761

2,790859

 

 

0,486191

 

3

4,536620

4,214072

4,858451

 

0,274466

 

4

9,395071

9,072523

7,649310

 

0,153393

 

1

0,263560

1,149843

 

 

 

1,477802

5

2

1,413403

2,183023

 

 

0,612398

3

3,596426

3,332866

3,489384

 

0,359795

 

4

7,085810

6,822250

5,672407

5,554991

0,230745

 

5

12.640801

12,377241

11,227398

9,044375

0,138630

Рис . 5.

Взаимокорреляционные и ав-

Р и с. 6 .

Точная

и идентифицирован-

токорреляционные функции сигналов

ная импульсные

переходные функции

системы

(пример 3.4).

(пример

3.4).

 

99

ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ

Экспериментально определенные корреляционные функции были исполь­ зованы для восстановления искомой импульсной переходной функции при помощи квадратурного процесса Лагерра. В результате решения системы

(3.45)

при п = 2,5 было определено 14 точек идентифицируемой характерис­

тики.

Интерполяционная кривая, проведенная через эти точки (рис. 6 ), близка

к точной импульсной переходной функции, несмотря на наличие погреш­ ностей при расчете корреляционных функций.

Таким образом, метод механических квадратур в задачах, подобных рассмотренной, приводит к хорошим результатам при сравнительно неболь­ шом объеме вычислений.

3.5. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ.

ВЫБОР ЧИСЛА ЧЛЕНОВ АППРОКСИМАЦИИ

При нахождении приближенного решения задачи идентификации с помощью проекционных методов важную роль играют вопросы оценки точности приближенного решения и определения рацио­ нального числа членов в представлении (3.1).

Воспользуемся идеями метода Ритца для оценки погрешности решений регуляризованных уравнений идентификации. Из фор­ мулы (3.25) вытекает следующая простая оценка для вели­ чины dan = II Wan— Ша|| •'

\wan—Ша[в2

(ба” )2=||Шап-^а112^

\\Ra{Wan— Wp) | • Ц Ш д ” —

Э Д д Ц

a Pi4~Po

Следовательно,

\\f—RgWan\

аРг4~Ро

Аналогичным образом при помощи несложных преобразо­ ваний уравнения идентификации можно получить и другие оценки:

6ая<11 ( а /+ Я г ‘Яо)-1Н•\\Rri (f-R*Wan) ||.

В общем случае, вследствие сложности точного определения норм операторов Ra~l и(a/ + R r iRo)~i эти оценки могут ока­ заться весьма грубыми. Практически более /важные оценки

7*

ГЛАВА III

100

 

строятся на основе использования следующего представления для функционала энергетического метода [1.19]:

h [ w ] = (Raw, w ) — 2(w, f) = (Raw , w ) —2(w, Rawa) —

= (Ra(w — Wa), W — Wa) — (RaWa, Wa) =

= \ w — W a \ J — \ W a \ a . 2 .

(3.46)

Обозначим через d верхнюю оценку для энергетической нормы точного решения, т. е.

d^ —inf / 4[ш] =

|wa \2.

1DGF

 

Используя выражение (3.46), находим

 

б « < \Wa-n—W*\a _ 1^4 [>«"] + |Шд|д2

ctpi+Po

aPi+po

~jj4 [Шд71] -\-d

(3.47)

Оценка (3.47) справедлива при любом способе построения ми­ нимизирующей последовательности wan. В том случае, когда приближенное решение строится по методу Ритца, выражение (3.47) легко преобразовать к следующему виду:

V-- I

f)

 

a Pi“bPo

 

Оценим третье слагаемое в неравенстве треугольника (3.10). Допустим, что операторы Ra и R0 положительно определены, а их энергетические пространства состоят из одних и тех же эле­ ментов. Последнее условие выполняется, в частности, если опе­ ратор R1 ограничен.

Отсюда вытекает, что энергетические нормы в гильбертовых пространствах На и Н0 эквивалентны, т. е. существуют такие

положительные постоянные yi(a) и уг(а)

[1.38], что

 

 

Vi ( а ) М а 2г^ М о 2 < У 2 ( а ) |гг>|а 2,

( 3 . 4 8 )

Для величин

yi(a) и Уг(а) на основе

обозначений

леммы 3.1

получаем следующие оценки:

 

 

 

 

| W|о2

 

 

 

 

Y i(a )= inf

 

 

 

 

M a 2

 

 

—

inf

(Row, w)

 

 

a (RiW, w)-j-(R0w, w)

1+Xa

 

101 ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ

 

 

 

7 2 (ос) =

s u p -

Ш 0Z

 

 

 

 

 

 

w

 

 

 

 

 

 

 

K1GF

 

1

 

 

 

 

 

(Row, w)

 

 

 

Здесь

e

 

a>(Rlw,w) + {R0w,w)

l + pa

 

 

 

(Rxw, w)

______ \m\___

\m

 

X=

s u p

—

 

------------ -

 

 

 

(Row.w)

.

(Row, w)

Po

 

 

 

 

 

inf

— -------

 

 

 

 

 

 

mjsW

(wt ш)

 

 

 

 

 

 

'

'

 

 

 

W<=Winf

(Riw, w)

1

(RiW, w)

Pi

|A =

(Row, w)

Htfoll inf

( W , W )

WRoW '

В работе [1.21]

показано, что

 

 

 

 

.

.

 

( 11—71(a) I

 

1 7 2 ( a )

I 1

Jdl)n

) Ша—ш |

max | -

Y i ( a )

 

7 2 (a)

Г

 

 

 

 

 

 

 

В рассматриваемом случае

11—Vi(«) I

Xa

7i ( a )

 

1 1 — 7 2 ( a ) I

:pa.

7 2 ( a )

Объединяя приведенные выше соотношения с учетом свойств энергетической нормы, находим

: II W a W |! :

Ха

Ха

(3.50)

wa

i(f,w a).

]/api+|30

■j/aPi+Po

 

Используя идею работы [3.23], выберем в качестве решения задачи идентификации функцию

Wa~-

± r _ L

-

+

- L _ l Wo

 

 

2 L 7vi1 fa)(

‘

7v?fa)2 ( J

 

 

[ , + J E + | ) 2 - ] Wa-

 

Тогда получаем более точную оценку, чем (3.50):

 

6a= llw a—wll:

\wa—w\a

7 2 ( a ) — 71 ( а )

X

f a P i + P o

7 2 ( a ) + 7i ( a )

 

 

\Wa\a.

а(Х—р)

(3.51)

X

 

 

 

■У(Д wa).

faPi+Po 2Уар1+|Зо

Смотрите также файлы